21.1 二次根式-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华东师大版）

21.1二次根式 基础知识 1、二次根式的概念：形如 ( ≥0)的式子叫做二次根式。要判断一个式子是不是二次根式，一是要看根指数是不是2，二是要看被开方数是不是非负数，只有符合这两个条件才是二次根式。 求解二次根式中字母的范围一定要注意是根号下整体大于等于零，不要忘记等于零，还需要注意其它因素的影响。 2、二次根式两个非负性的运用：二次根式 (a≥0)，这里实质包含两个非负性：a非负和 非负。特别的，对于 ，当 =0时，有最小值0。 3、二次根式的性质：（1） ＝ ( ≥0)． 运算顺序是先求一个非负数a的算术平方根然后再平方，因此必须注意满足a≥0这个条件。此条件一般隐含在题目中，此类题目的结果是唯一的，不存在讨论问题。 二次根式的基本性质既能正用也可以逆用。可以把任意的一个非负实数 写成平方数形式 。 的运算顺序是先平方，再开方，然后取算术根。因此，这个式子对任意实数a都有意义，而运算结果必须是非负数，所以要注意取值范围或分类讨论。在使用此公式时， 这一步建议不要省略，这样可避免发生错误。 例题 例．已知实数x,y满足 ,求 的平方根与立方根 【答案】17．±3， 【分析】 根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组,求解得到x、y的值,然后代入代数式进行计算求出的值,再根据平方根的定义解答. 【详解】 根据题意得 , 解得 , x-8y=9，平方根=±3，立方根= 【点睛】 本题考查了算术平方根非负数,平方数非负数的性质,解二元一次方程组,平方根的定义,根据几个非负数的和等于0,则每一个算式都等于0列式是解题的关键. 练习 1．下列各式中，一定是二次根式（ ） A． B． C． D． 2．函数 中自变量 的取值范围是（ ） A． B． C． 且 D． 且 3．计算 的结果为（ ） A．3 B． C．6 D．9 4．下列各式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 5．若 ，则 满足的条件是（ ） A． B． C． D． 6．若代数式 有意义，则在平面直角坐标系中点 位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知 ，则 的值为（ ） A．－18 B．12 C．18 D． 8．函数 自变量x的取值范围（ ）． A． B． 且 C． D． 且 9．二次根式 有意义，则x的取值范围是______ 10．计算： ________． 11．若 ，则 ________． 12．若实数 满足 ，则 ______． 13．求代数式 的值，其中a＝﹣2021．如图是小扣和小芳的解答过程． （1）　　　的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　　　； （3）求代数式 的值，其中a＝﹣2022． 14．（1）如图，阴影部分的边长的整数部分为a，小数部分为b，求 的值． （2）已知 ，求 的值． （3）如图所示，实数a，b，c在数轴上的对应点，化简 15．若 ，则 的平方根． 16．一个直角三角形的两边m、n恰好满足等式 ，求第三条边上的高的长度． 参考答案 1．D 【分析】 根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断即可得答案． 【详解】 -3＜0， 无意义，故A选项不是二次根式， 当a＜0时， 无意义，故B选项不一定是二次根式， 是三次根式，故C选项不是二次根式， ≥1， 一定是二次根式， 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式；熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 2．C 【分析】 根据二次根式的非负性和分母不为零得到两个不等式，即可求解． 【详解】 解：根据题意得 ， 解得：x ﹣3，且x≠5． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了函数自变量取值范围，结合二次根式非负性和分式有意义求解是解题的关键． 3．A 【分析】 利用算术平方根的意义和平方的意义即可得出结论． 【详解】 解：∵ 3， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和算术平方根的意义是解题的关键． 4．A 【分析】 根据二次根式的性质可直接进行排除选项． 【详解】 解：A、由 可得 ，故符合题意； B、当 时，则有 ，故不符合题意； C、 ，错误，故不符合题意； D、当 时，则有 ，故不符合题意； 故选A． 【点睛】 本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．D 【分析】 根据二次根据的性质 ，即可得结果． 【详解】 ∵ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质，运用此性质时特别注意被平方数中底数的符号． 6．D 【分析】 根据二次根