2.2.3 函数性质的综合问题-2022高考文科数学【步步高】大一轮复习讲义（人教A版课件）豫晋皖甘青黑吉宁新蒙

大一轮复习讲义 第二章　§2.2　函数的基本性质 第3课时　函数性质的综合问题 例1　(1)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝ f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为 A.b>a>c B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b 题型一　函数的单调性与奇偶性 师生共研 解析　当x>0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数， ∴f(x)的图象关于y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，a＝f(－π)＝f(π)， 又π>3>log23>1>2－0.2>0， ∴f(π)>f(log23)>f(2－0.2)， ∴a>b>c. √ (2)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是 A.[－1,1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0,1] C.[－1,0]∪[1，＋∞) D.[－1,0]∪[1,3] √ 解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)＝0. 又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示. 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0， 得－1≤x≤0. 当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0， 得1≤x≤3. 故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]. [高考改编题] 若函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(2)＝0，且在(0，＋∞)上单调递增，则满足f(x－1)≥0的x的取值范围是_________________，满足 <0的x的取值范围是______________. [－1,1]∪[3，＋∞) (－2,0)∪(0,2) 解析　由函数f(x)的性质，作出函数f(x)的大致图象如图所示， ∵f(x－1)≥0，则－2≤x－1≤0或x－1≥2， 解得－1≤x≤1或x≥3. 即－2<x<0或0<x<2. 解决不等式问题，一定要充分利用已知条件，一是把已知不等式化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性解不等式；二是利用函数的性质，画出f(x)的图象，利用图象解不等式. 思维升华 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)满足以下两个条件：①任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；②对定义域内任意x有f(x)＋f(－x)＝0，则符合条件的函数是 A.f(x)＝2x B.f(x)＝1－|x| C.f(x)＝－x3 D.f(x)＝ln(x2＋3) √ 解析　由①知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由②知f(x)为奇函数. (2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)< 的x的取值范围是________. 解析　依题意有f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减， 题型二　函数的奇偶性与周期性 师生共研 例2　(1)(2020·德州联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2 023)等于 A.2 0192 B.1 C.0 D.－1 √ 解析　根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)， 则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即函数是周期为4的周期函数， 则f(2 023)＝f(－1＋2 024)＝f(－1)， 又函数y＝f(x)为奇函数， 且x∈[0,1]时，f(x)＝x2， 则f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(2 023)＝－1. (2)(2021·济南模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，则 A.f(2 019)＝f(2 017) B.f(2 019)＝f(2 020) C.f(2 020)>f(2 019) D.f(2 020)>f(2 018) √ 解析　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)， 所以f(x－8)＝f(x)， 所以f(x)是以8为周期的函数，则f(2 017)＝f(1)，f(2 018)＝f(2)， 而由f(x－4)＝－f(x)得f(2 019)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，f(2 020)＝f(4)＝－f(0)＝0， 又因为f(x)在[0,2]上单调递增， 所以f(2)>f(1)>f(0)＝0， 即f(2 019)＝f(2 017)， f(2 020)<f(2 019)， f(2