2.2.2 奇偶性、对称性与周期性-2022高考文科数学【步步高】大一轮复习讲义（人教A版课件）豫晋皖甘青黑吉宁新蒙

大一轮复习讲义 第二章　§2.2　函数的基本性质 第2课时　奇偶性、对称性与周期性 例1　判断下列函数的奇偶性： 题型一　函数奇偶性的判定 师生共研 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. 解　f(x)的定义域为(－2,2)，关于原点对称， ∴函数f(x)为奇函数. 解　显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立， ∴函数f(x)为奇函数． 解　显然函数f(x)的定义域为R， 故f(x)为奇函数. 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 思维升华 解析　由函数奇偶性定义知，A中函数为奇函数， B中函数为奇函数， C中函数为非奇非偶函数， D中函数为偶函数. √ (2)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是 A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)g(x)|是奇函数 C.|f(x)|g(x)是偶函数 D.f(|x|)g(x)是奇函数 √ 解析　令F1(x)＝f(x)g(x)， ∴F1(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F1(x)， ∴F1(x)为奇函数，故A错误； 令F2(x)＝|f(x)g(x)|， ∴F2(x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)| ＝|f(x)g(x)|＝F2(x)， 故F2(x)为偶函数，故B错误； 令F3(x)＝|f(x)|g(x)， ∴F3(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F3(x)， ∴F3(x)为偶函数，故C正确； 令F4(x)＝f(|x|)g(x)， ∴F4(－x)＝f(|－x|)g(－x)＝f(|x|)g(x)＝F4(x)， ∴F4(x)为偶函数，故D错误. 题型二　函数奇偶性的应用 多维探究 命题点1　利用奇偶性求参数的值 解析　方法一　(定义法)∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 方法二　(特值法)f(x)为奇函数，且x≠0， ∴f(－1)＝－f(1)， ∴a－2＝－(a＋1)， 命题点2　利用奇偶性求解析式 例3　(2019·全国Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于 A.e－x－1 B.e－x＋1 C.－e－x－1 D.－e－x＋1 √ 解析　当x<0时，－x>0， ∵当x≥0时，f(x)＝ex－1， ∴f(－x)＝e－x－1. 又∵f(x)为奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1. 命题点3　利用奇偶性求函数值 例4　已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2，若f(－2)＝4，则f(2)＝________. 解析　令g(x)＝ax3＋bx5，则g(x)为奇函数， ∴f(x)＝g(x)＋2， 又∵f(－2)＝g(－2)＋2＝4，∴g(－2)＝2， 又g(x)为奇函数，∴g(2)＝－g(－2)＝－2， f(2)＝g(2)＋2＝－2＋2＝0. 0 利用函数奇偶性可以解决以下问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值. (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出. (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值. (4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象. (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值. 思维升华 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x＋b，则f(－1)的值为 A.b＋3 B.－b－3 C.－2 D.2 解析　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0， 即20＋0＋b＝0，∴b＝－1， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(21＋1＋b)＝－2. √ (2)奇函数f(x)在区间[m，n](m<n)上的值域为[－3,6]，则当x∈[－n，－m]时，f(x)的最大值为________. 解析　 ∵f(x)为奇函数， ∴f(x)的图象在[m，n]上的