1.4 充分条件与必要条件-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第1章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 学习导航 1、 理解充分条件、必要条件的概念. 2、 了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. 3、 能通过充分性、必要性解决简单的问题． 教学过程 一、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 例题1 1．若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则（ ） A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 【答案】B 【分析】 因为B不是A的子集，所以集合中必含有元素不属于，而即为或， x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件. 故选：B． 二、充要条件 1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 例题2 2．“且”是“为第三象限的角”的（ ） A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】 因为，所以为第二或三象限或终边落在轴负半轴上 因为，所以为第一或三象限 综上，为第三象限的角 反之，为第三象限的角，且 即“且”是“为第三象限的角”的充要条件 故选：A 课时训练 1．若“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件是“<x<”，则实数m的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先化简不等式为m-1<x<m+1，再由题意知，且，根据子集关系列式解得参数范围即可. 【详解】 不等式-1<x-m<1等价于：m-1<x<m+1， 由题意得“<x<”是“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件， 所以，且， 所以，且等号不能同时成立，解得. 故选：B. 2．函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（ ） A．m=-2 B．m=1 C．m=-1 D．m=0 【答案】A 【分析】 根据二次函数的对称轴的求法，利用充要条件的定义判断即可. 【详解】 当m=-2时，f(x)=x2-2x+1，其图象关于直线x=1对称，反之，若函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则，即. 所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2. 故选：A. 3．命题，命题；则p是q的（ ） A．充要条件 B．必要条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据两个命题的互相推出情况判断出p是q的何种条件. 【详解】 因为当时，y可取任意实数，不一定有，所以p不是q的充分条件； 因为，所以， 所以p是q的必要条件. 故选：B. 4．“t≥-2”是“对任意正实数x，都有t2-t≤x+恒成立”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 由不等式恒成立求出t的取值范围，再根据充分条件、必要条件判断得解. 【详解】 由于x+≥2，由题意知t2-t≤2， 解得-1≤t≤2. 所以“t≥-2”是“-1≤t≤2”的必要不充分条件. 故选：B 5．已知，，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由是的必要条件，列不等式组，可得实数a的取值范围． 【详解】 由是的必要条件，可得，解得 故选：D. 6．是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 充分性显然成立，通过反例可得必要性不成立. 【详解】 充分性显然成立，必要性可以举反例：，，显然必要性不成立. 故选：A 7．设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据充分不必要条件，转化为子集问题，求实数的取值范围. 【详解】 由“”是“”的充分不必要条件，可得， . 故选: 8．设集合，，那么“且”是“”的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充