1.2 集合间的基本关系-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第一册）

第1章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系 学习导航 1、 理解子集、真子集、集合相等、空集的概念. 2、 能用符号和Venn图表达集合间的关系. 3、 掌握列举有限集的所有子集的方法． 教学过程 一、子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等的相关概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 2．Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 例题1 1．下列命题： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若，则．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 在①中，空集的子集是空集，故①错误； 在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误； 在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误； 在④中，若，则，故④正确． 故选：． 二、空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 例题2 2．下列集合中，结果是空集的是( ) A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1} C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1} 【答案】D 【分析】 A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集； C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数， 即：{x|x>6且x<1}=. 故选：D 课时训练 1．若集合A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|（x﹣3a）（x﹣a）＜0}，且A⊆B，则实数a的取值范围是（ ） A．1＜a＜2 B．1≤a≤2 C．1＜a＜3 D．1≤a≤3 【答案】B 【分析】 ∵A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|（x﹣3a）（x﹣a）＜0}，且A⊆B， ∴a＞0，则B＝{x|a＜x＜3a}， ∴，解得1≤a≤2， 故选：B. 2．对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，若A＝{1，3}，B＝{2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是（ ）个. A．14 B．12 C．13 D．11 【答案】A 【分析】 ∵A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，且A＝{1，3}，B＝{2，4}， 所以A×B＝{（1，2），（1，4），（3，2），（3，4）}， 共有四个元素， 则点集A×B的非空真子集的个数是：24﹣2＝14. 故选：A. 3．如果A＝{x|x>－1}，那么（ ） A．0⊆A B．{0}∈A C．∈A D．{0}⊆A 【答案】D 【分析】 由题意，集合的表示方法及元素与集合的关系，可得，所以不正确； 由集合与集合的包含关系，可得，所以不正确， 其中是正确的. 故选D. 4．若集合，，则下面结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 集合，， 因为， 所以， 故选：A 5．若集合，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意，故， 故选：D 6．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则(a，b)不能是(　　) A．(－1,1) B．(－1,0) C．(0，－1) D．(1,1) 【答案】B 【分析】 ∵B≠ B⊆A， ∴B={﹣1}；B={1}；B={1，﹣1} ∴或或 解得或或 故选B. 7．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则 (　　) A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2 C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3 【答案】A 【分析】 由条件知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两根，由韦达定理得b＝－3，c＝2. 故选A 8．已知集合，则下列式子表示正确的有（ ） ①；②；③；④. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】 根据题意，集合A＝{x|x2﹣9＝0}＝{﹣3，3}，依次分析4个式子： 对于①3∈A、3是集合A的元素，正确； ②{3}∈A、{3}是集合，有{3}⊆A，错误； ③∅⊆A、空集是任何集合的子集，正确； ④、任何集合都是其本身的子集，正确； 共有3个正确； 故选：B．