考点02 一定是直角三角形吗-2021-2022学年八年级数学上册课时同步考点类型大总结（北师大版）

第一章 一定是直角三角形吗 考点类型大总结 【知识点及方法技巧梳理】 考点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 知识点提示： （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 应用：如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 知识点提示：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 考点类型一：判断直角三角形 例1．满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可． 【详解】 A. ,则a2+c2=b2 ,△ABC是直角三角形,故A正确，不符合题意； B. 52+122=132，△ABC是直角三角形，故B正确，不符合题意； C.∠A：∠B：∠C=3：4：5， 设∠A、∠B、∠C分别为3x、4x、5x， 则3x+4x+5x=180°， 解得，x=15°， 则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°， △ABC不是直角三角形；故C选项错误，符合题意； D. ∠A-∠B=∠C，则∠A=∠B+∠C， ∠A=90°， △ABC是直角三角形，故D正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 考点类型一：判断直角三角形（书写） 例2．如图四边形ABCD，已知∠A＝90°，AB＝3，BC＝13，CD＝12，DA＝4．求四边形的面积． 【答案】36 【分析】 连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状，根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD即可得出结论． 【详解】 连接BD． ∵∠A=90°，AB=3，DA=4，∴BD5． 在△BCD中，∵BD=5，CD=12，BC=13，52+122=132，即BD2+CD2=BC2，∴△BCD是直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD3×45×12=6+30=36． 【点睛】 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状是解答此题的关键，难度适中． 例题3、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 解：根据题意可画出上图， PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30， 在△PQR中， ， ∴ ． ∴ △PQR是直角三角形且∠RPQ＝90°． 又∵ “远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°， ∴ ∠RPN＝45°． 由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行． 举一反三 1、如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应沙区创文创卫，美化小区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D作垂直于AB的小路DE．经测量，米，米，米，米． （1）求BD的长； （2）求小路DE的长． 【答案】（1）米；（2）米． 【分析】 （1）先由证明 可得 再由勾股定理可求的长； （2）由 可得代入数据从而可得答案． 【详解】 解：（1） 为米． （2） 为米． 【点睛】 本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握以上知识是解题的关键． 考点二：互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题. 知识点提示：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 例1：下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形． 【答案】①④ 提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命