考点01 探索勾股定理-2021-2022学年八年级数学上册课时同步考点类型大总结（北师大版）

第一章 探索勾股定理 考点类型大总结 【知识点及方法技巧梳理】 考点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 知识点提示： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 类型一、勾股定理的直接应用 例题1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）若＝5，＝12，求； （2）若＝26，＝24，求． 解：（1）∵在△ABC中，∠C＝90°，，＝5，＝12， ∴．∴＝13． （2）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝26，＝24， 所以．所以＝10． 举一反三： 1．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　） A．6 B．7 C．10 D．13 【答案】D 【分析】 根据勾股定理，计算出斜边长为13． 【详解】 解：由勾股定理得，斜边长＝， 故选：D． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，直接代公式就可以求出斜边的长． 2．已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为______． 【答案】5或 【分析】 已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长． 【详解】 解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时： 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时： 第三边的长为：； 综上，第三边的长为：5或． 故答案为：5或． 【点睛】 本题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解． 3.如图，已知，过作，且；再过作且；又过作且；又过作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么______． 【答案】． 【分析】 利用勾股定理解直角三角形，然后利用三角形面积公式计算三角形面积，从而发现规律． 【详解】 解：由题意可得 在中， ∴ 同理可得： … ∴ 故答案为： 【点睛】 本题考查勾股定理解直角三角形及数字的规律探索，准确利用勾股定理及三角形面积公式进行计算是解题关键． 类型二、勾股定理与面积相结合 例1：图中字母所代表的正方形的面积为的选项为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据勾股定理，即可求出 A， B，C ，D 所代表的正方形的面积． 【详解】 如图所示： ∵， ∴， ∴字母所代表的正方形面积是； 同理：字母所代表的正方形面积； 字母所代表的正方形面积； 字母所代表的正方形面积; 故选C． 【点睛】 本题考查了勾股定理，仔细观察选项所给图形的特点，利用勾股定理进行解答是关键． 举一反三 1.有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右“肩”上“生出”两个小正方形，这个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】 解：如图，设直角三角形的三条边分别是，，， 根据勾股定理，得， 即正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 同理：正方形D的面积+正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积=正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 推而广之，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 故选：D 类型三、勾股定理解决实际问题 例1：在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明． 【答案】公路段没有危险不需要暂时锁锁，见解析 【分析】 过点C作于点D，由勾股定理求出AB的长，再由面积相等求出CD的长，与450米比较即可判断是否要封锁公路． 【详解】 公路段没有危险不需要暂时封锁 如图，过点C作于点D． ∵，米，米， ∴（米）． ∴（米）． ∵， ∴公路段没有危险不需要暂时封锁． 【点睛】 本题考查了直角三角形在实际生活中的应用，涉及勾股定理、图形的面积，用等积法求高是本题的关键，当然也可以用勾股定理建立方程求高，相对来说本题解法更简单． 例2．如图，一架25