第7讲 一元二次方程根与系数的关系-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第7讲 一元二次方程根与系数的关系 SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 判别式的值与根的关系 1.一元二次方程根的判别式：我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用符号“ ”表示，记作 ． 2.一元二次方程 ， 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根； 当 时，方程没有实数根． 【知识拓展1】选择： (1)下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A） （B） （C） （D） （2）不解方程，判别方程 的根的情况是（ ） （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）只有一个实数根 （D）没有实数根 （3）方程 的根的情况是( ) （A）有两个相等实根 （B）有两个不等实根 （C）没有实根 （D）无法确定 （4）一元二次方程 的根的情况为（ ） （A）有两个不相等的实数根 （B）有两个相等的实数根 （C）只有一个实数根 （D）没有实数根 【难度】★ 【答案】（1）D；（2）D；（3）B；（4）A．【答案】【答案】 【解析】（1）A： ， ， ， ，方程无实根； B： ， ， ， ，方程有两个相等实根； C： ， ， ， ，方程无实根； D： ， ， ， ，方程有两不等实根实根，故选D； （2） ， ， ， ，方程无实根，故选D； （3） ， ， ， ，方程有两不等实根，故选B； （4） ， ， ， ，方程有两个相等实根，故选A． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的 、 、 ，再代值计算 ，根据 与0的大小关系确定方程根的情况，注意 、 异号时则必有两不等实根． 【即学即练1】不解方程，判别下列方程的根的情况： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【难度】★ 【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】 【解析】（1） ， ， ， ，方程有两不等实根； （2） ， ， ， ，方程无实数根； （3） ， ， ， ，方程有两相等实根； （4） ， ， ， ，方程有两不等实根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的 、 、 ，再代值计算 ，根据 与0的大小关系确定方程根的情况，注意 、 异号时则必有两不等实根． 【知识拓展2】已知方程组 的解是 ，试判断关于 的方程 的根的情况． 【难度】★★ 【答案】方程无实数根．【答案】【答案】 【解析】方程组 的解是 ，代入即得： ，可解得： ， 此时方程即为 ，其中 ， ， ， ，可知方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其 值，判定方程解的情况． 【即学即练2】当 取何值时，关于 的方程 ， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【解析】对此方程， ， ， ，则 ，由此可知， （1）当 ，即 时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 ，即 时，方程有两两个相等的实数根； （3）当 ，即 时，方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其 值，方程可由 值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其 值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论． 知识点02 根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 【知识拓展1】当 为何值时，方程 ， （1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根． 【难度】★★ 【答案】（1） 且 ；（2） ；（3） ． EMBED Equation.DSMT4 【答案】【答案】 【解析】将方程整理成关于 的一元二次方程的一般形式，即得： ，此时， ， ， ， 由方程为一元二次方程，可知 ，故 ； ，由此可知， （1）当 ，即 且 时，方程有两不等实根； （2）当 ，即 时，方程有两相等实根； （3）当 ，即 时，方程无实根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其 值，可由方程根的情况确定其 值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【答案】【答案】 【即学即练1】已知关于 的一元二次方程 有实数根，求 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】 且 ．【答案】【答案】 【解析】由原方程是一元二次方程，可知 ，即 ；对