专题02特殊平行四边形之矩形相关性质压轴题专练-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年九年级数学专题训练（北师大版）

专题02特殊平行四边形之矩形相关性质压轴题专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2021·重庆八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，过中点作交于点，连接，若点的坐标为，，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意，为的垂直平分线，则,根据点的坐标求得的坐标，从而求得勾股定理求得的长，即可求得的坐标 【详解】 四边形是矩形 ，, ，为的中点, 中 故选C 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练以上知识是解题的关键． 2．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（　　） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小 【答案】C 【分析】 设AB=a，BC=b，BE=c，BF=x，根据S平行四边形EFGH=S矩形ABCD-2()=，由E是AB的中点可得,即可得出判断． 【详解】 解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x， 连接EG， ∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF＝HG，EF∥HG， ∴∠FEG＝∠HGE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BEG＝∠DGE， ∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH， ∴∠BEF＝∠HGD ∵EF＝HG，∠B＝∠D， ∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS）， 同理Rt△AEH≌Rt△CGF， ∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH) ＝ab﹣2[cx+(a﹣c)(b﹣x)] ＝ab﹣(cx+ab﹣ax﹣bc+cx) ＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx ＝(a﹣2c)x+bc， ∵E是AB的中点， ∴a＝2c， ∴a﹣2c＝0， ∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab， 故选：C． 【点睛】 本题考查矩形和平行四边形的性质，解题关键是掌握矩形和平行四边形的性质． 3．（2021·江苏八年级期中）如图，一大一小菱形与菱形的中心均为点O，．若菱形固定，将菱形绕点O旋转一周（即360°），若在旋转过程中，菱形顶点F八次落在菱形的边界上，顺次连结其中四个落点，所得四边形为矩形的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】 菱形是中心对称图像，旋转360度，八次落在菱形的边界上，则到边界上的8个交点也成中心对称，依题意作出图形，可知对角线相等，并且互相平分即为矩形，数一数即可求解 【详解】 如图：根据题意，以为半径以为圆心作圆，与菱形交于 菱形是中心对称图像，圆也是中心对称图形，对称中心为点 与，与关于点O中心对称 =，=，=，= 由旋转可知： 四边形是矩形 同理：四边形是矩形 设矩形与矩形相交的点分别为： 又菱形和圆都是轴对称图形，四边形是矩形，公共的对称轴为 同理： 则 又四边形是矩形 四边形是矩形 同理，，也是矩形 矩形有：矩形，，，，，共6个 共有6个矩形 故选D 【点睛】 本题考查了菱形的对称性，中心对称与轴对称的性质，矩形的判定定理，正确的作出图形熟悉矩形的判定定理是解题的关键． 4．（2021·湖北八年级期末）如图，将矩形纸片ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，E，F分别在AB，CD上，下列结论；①；②为等腰三角形；③延长GF，则GF必经过点A；④若为等边三角形，则．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 根据矩形的性质和折叠的性质，通过等角对等边，可证明为等腰三角形，故②正确；结合②中结论，通过证明Rt△CEB≌Rt△CFG，可证得 ．进而证得，故①正确；连接AF,通过证明∠AFG是平角，证得 D，F，A在一条直线上，故③正确；根据为等边三角形，可证得Rt△CEB中∠7=60°，再结合勾股定理，求得，，进而求得，故④不正确． 【详解】 如图，在矩形ABCD中， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2． 根据折叠的性质，∠1=∠3， ∴∠2=∠3． ∴CE=CF，为等腰三角形． 故②正确； 在矩形ABCD中，∠D=∠B=90°，AD=BC， 根据折叠的性质，∠D=∠G=90°， AD=CG, DF=GF， ∴∠B =∠G=90°，BC=CG． 在Rt△CEB和Rt△CFG中， ∵ ， ∴Rt△CEB≌Rt△CFG (HL) ． ∴． ∴． 故①正确； 连接AF，根据折叠的性质，可知Rt△AFD≌Rt△CFG， ∴∠5=∠6． ∵∠2+∠4+∠6=180°， ∴∠2+∠4+∠5=180°，即∠AFG是平角． ∴D，F