专题五 巧添辅助线解答几何题-【通城学典】八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

AF=CO+CE,即OF=OE.∵∴BO=DO,四边形 △AED≌△DFC.∴AE=DF.∵AE=3,∴DF FBED是平行四边形.又∵AC⊥BD,即EF⊥BD,3.又∵CF=5,∴在Rt△DFC中,由勾股定理,得 ∴四边形FBED是菱形. CD2=CF2+DF2=52+32=34.∴正方形ABCD的面 积为34 11.√2—1解析:如图,过点C作CF⊥BE于点F.∵四 边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=∠D=90°,AB= CD=1.AD=B BE平分∠ABC,∠ABE 第6题 ∠CBF=45.∴△ABE为等腰直角三角形.∴AB 3解析:如图,连结CE.∵四边形ABCD是矩形,AE=1.∵EC平分∠BED,∴CF=D=1.:∠(CBF ∴∠ADC=90°,CD=AB=4,AD=BC=6,OA=OC.45°,∴△BCF为等腰直角三角形.∴BF=CF=1.在 ∵EF⊥AC,∴EF垂直平分线段AC.∴AE=CE.设Rt△BFC中,由勾股定理,得BC=√BF2+CF2= DE=x,则CE=AE=6-x.在Rt△CDE中,由勾股定 AD=BC=√2.∴ED=√2-1 理,得x2+4=(6-x)2,解得x=3,即DE=3 第11题 12.如图,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC 第7题 8.(1)∵AC⊥BE,DF⊥BE,∠ACB=∠DFE 的延长线于点F,∴∠AEB=∠F=90°.∵四边形 90.∵AB∥DE,∠B=∠E.在△ABC和△DEF中, ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=DC,AD=BC ∠ACB=∠DFE, ∠ABE=∠DCF.在△ABE和△DCF中, ∠B=∠E,∴△ABC≌△DEF.(2)线段CF与(∠4B=∠F, AB- DE ∠ABE=∠DCF,∴△ABE≌△DCF.∴BE=CF, 1D互相平分.理由:如图,令AD与CF交于点O,连结 AF、CD.由(1),得△ABC≌△DEF,:AC=DF.∵AC⊥AE=DF,设BE=CF=x,AE=DF=y.在Rt△AEC BE,DF⊥BE,∴∠ACO=∠DFO=909.∴AC∥DF 中,由勾股定理,得AC2=AE2+EC2,即AC2=y2+(5 ∴四边形ACDF是平行四边形∴线段CF与AD互相x)2,在Rt△BDF中,由勾股定理,得BD2=BF2+DF2 平分 即BD2=(5+x)2+y2.∴AC2+BD2=y2+(5-x)2+ (5+x)2+y2=2x2+2y2+50.又∵AB=4,在 R△ABE中,AB2=x2+y2=16.∴AC2+BD2=2× 16+50=82. 第8题 9.C解析:作AE⊥直线b于点E,作CF⊥直线b于点 F,则∠AED=∠DFC=909.∵四边形ABCD是正方形, 第12题 ∴AD=DC,∠ADC=90,∴∠ADE+∠CDF=90,13.如图,过点P作PF⊥AB于点F,PG⊥BC于点G ∵∠AED=90°,∴∠ADE+∠DAE=90°.∴∠DAE ∠PFB=∠PGB=∠PC=90.∵四边形ABCD是 ∠AED=∠DFC,正方形,∴∠ABC=90°,∠ABD=∠CBD.∴四边形 ∠CDF.在△AED和△DFC中,∠DAE=∠CDF,FBP是矩形.∴PF∥BC.∴∠FPB=∠CBD AD=DC ∴∠ABD=∠FPB.∴FP=FB.∴矩形FBGP是正方 20 形.∴PF=PG,∠FPG=90°.∴∠FPE+∠EPG=90° △ADE≌△CDF.∴AE=CF,∠DAE=∠DCF. PE⊥PC,∴∠EPC=90°,即∠GPC+∠EPG=90°.∵∠DCF+∠F=90°,∴∠DAE+∠F=90°.∴∠AGF ∠FPE=∠C 在△PFE和△PGC中,90°,即AE⊥CF FPE=∠GPC ∴△PFE≌△PGC.∴PE=PC. B 16.(1)∵AB∥CD,AB=CD,四边形ABCD是平行 四边形,∠A+∠D=180.又∵∠A=∠D,∠A ∠D=909.∴四边形ABCD为矩形.(2)如图,延长DA 14.,解析:如图,延长BC到点M使得CM=AE,连 CE交于点G.∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB= 结DM.四边形ABCD为正方形,AB=BC=AD=∠B=90°,AD∥BC.∴∠GAE=90°,∠G=∠ECB.∴E CD,∠DAE=∠DCB=∠ADC=∠B=∠DCM=90°在是边AB的中点,∴AE=BE.在△ACE和△BCE中 AD=CD ∠G=∠ECB, △DAE和△DCM中,∠DAE=∠DCM,△DAE≌∠GAE=∠B,…△AE≌△BCE.∴AG=BC.∴AF AE=CM AE=BE. △DCM.∴DE=DM,∠ADE=∠CDM.∠ADE+BC=AF+AG=FG.∵∠1=∠G+∠FCG,∠G ∠EDC=∠ADC=90°,∴∠CDM+