第19章 矩形、菱形与正方形-【通城学典】八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

15.∵四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,AB∥19(1)当AE=PE时,点E在AP的垂直平分线上.取 CD.∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE.∵E为BCAB的中点M,连结EM.∵四边形ABCD是矩形,E为 的中点,∴EB=EC.在△ABE和△FCE中,边CD的中点,∴AM=BM=CE=DE=2,∠MAD ∠BAE=∠CFE, ∠D=90°,AM∥DE.∴四边形AMED是矩形.∴EM E,∴△ABE≌△FCE.∴AB=FC.AB.∴点E在AB的垂直平分线上.∴点P与点B重 EB=EC 合.∴AP=AB=4.·,4=2.当PE=AP时,点P AB∥FC,∴四边形ABFC是平行四边形.∵AD= 在BC上,且在AE的垂直平分线上.∵在Rt△ABP和 BC,AD=AF,∴BC=AF.∴□ABFC是矩形 四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=CD= Rt△PE中,AP2=AB2+BP2,PE2=BC2+CP,∴16+ BC,∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°.在△ Abe: BP2=4+(6-BP),解得BP=2.∴t =3.综上 AB=AD 所述,当t=2或3时,△APE是以PE为腰的等腰三角 和△ADE中,∠BAE=∠DAE,△ABE≌△ADE.形(2)存在如图,延长EC到点E,使得EC=EC,连 (AE=AE 结AE’,交BC于点P,此时△APE的周长最小,即AE+ BE=DE.同理可得BF=DF.∵AF=CE,∴AF AE的值.EC=EC=DE=2,DE=6.∵四边形 EF=CEEF,即AE=CF.在△ABE和△CBF中, ABCD为矩形,∴AD=BC=6,∠BAD=∠D=90 AB=CB. DE= AD DAE=∠E=45∴∠BAP ∠BAE=∠BCF,∴△ABE≌△CBF.∴BE=BF ∠BPA=45.∴AB=BP=4.4+4 AE-CF. ∴BE=BF=DE=DF.∴四边形BEDF是菱形 17.(1)∵DE⊥BC,∠DFB=909.∵∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB,即CE∥ AD,∴四边形ADEC是平行四边形.∴CE=AD.(2)四 边形BECD是菱形.理由:D为AB中点,∴AD=BD CE=AD,BD=CE.∵BD∥CE,∴四边形BECD 第19题 是平行四边形.∵DE⊥BC,∴□BECD是菱形 复习2 18.(1)四边形ADCF为矩形.∵AF=DC,AF∥BC,1.B2.B3.A4.C5. ∴四边形ADCF为平行四边形.又∵E为AD的中点,6.C解析:如图,连结PC,与EF相交于点O,延长AP AF∥BD,∴AE=DE,∠AFE=∠DBE在△AEF和交EF于点H,延长FP交AB于点G.在正方形ABCD ∠AEF=∠DEB 中,∠ABP=∠CBP=45°,AB=CB,∠ABC=∠BCD △DEB中,∠AFE=∠DBE,:△AEF≌△DEB AB=CB. AE=DE. 90.在△ABP和△CBP中,∠ABP=∠CBP BD=AF.∴BD=CD.∵AB=AC,∴△ABC为等 BP=BP 腰三角形.∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.∴四边形∴△ABP≌△CBP.∴AP=PC,∠BAP=∠BCP ADCF为矩形.(2)当△ABC为等腰直角三角形时,四边∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°,∴四边形PECF 形ADCF为正方形.由(1),知D为BC的中点,四边形是矩形.∴PC=EF,PF∥EC,OE=OC.∴AP=EF, ADCF为平行四边形.∵△ABC为等腰直角三角形,D∠PFE=∠FEC,∠FEC=∠BCP.∴∠PFE=∠BCP 为BC中点,AD⊥BC,AD平分∠BAC.∴∠ADC=又∵∠BAP=∠BCP,∴∠PFE=∠BAP.故①④正 909.∴□ADCF为矩形.∵∠BAC=90°,∴∠BAD 确.只有P为BD的中点或PD=AD时,△APD才是等 ∠DAC=45°,∠ABC=∠ACB=45.∴∠DAC=腰三角形,故③错误.∵PF∥BC,∴∠AGF=∠ABC ∠ACD.∴AD=CD.∴四边形ADCF为正方形. 90°.∵∠BAP=∠PFE,∠APG=∠FPH,∴∠AGP 9 1复习进阶 第19章矩形、菱形与正方形 复习1 1.(眉山中考)下列说法正确的是 数为 A.一组对边平行,另一组对边相等的四 B.60° 边形是平行四边形 D.48° B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形6.如图,矩形DEFG的顶点E、F分别在菱 C.对角线相等的四边形是矩形 形ABCD的边AD和对角线AC上,连结 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正 EG、BF.若EG=3,则BF的长为( 方形 2.如图,下列四个条件中,能判定□ABCD 为菱形的是 A.∠ADB=90°B.OA