专题12 二项式-十年高考数学（理）客观题（2012-2021）真题分项详解

专题12 二项式定理 【2020年】 1.（2020·新课标Ⅰ） 的展开式中x3y3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 展开式的通项公式为 （ 且 ） 所以 与 展开式的乘积可表示为： 或 在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ， 在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 所以 的系数为 2.（2020·北京卷）在 的展开式中， 的系数为（ ）． A. -5 B. 5 C. -10 D. 10 【答案】C 【解析】 展开式的通项公式为： ， 令 可得： ，则 的系数为： . 3.（2020·天津卷）在 的展开式中， 的系数是_________． 【答案】10 【解析】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ． 所以 的系数为 ． 4.（2020·新课标Ⅲ） 的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】240 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 其二项式展开通项： 当 ，解得 EMBED Equation.DSMT4 的展开式中常数项是： . 【2019年】 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 )(1+x）4的展开式中x3的系数为（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【解析】由题意得x3的系数为 ，故选A． 6．【2019年高考浙江卷理数】在二项式 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________． 【答案】 5 【解析】由题意， 的通项为 ，当 时，可得常数项为 ；若展开式的系数为有理数，则 ，有 共5个项． 7．【2019年高考江苏卷理数】设 ．已知 ． （1）求n的值； （2）设 ，其中 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）因为 ， 所以 ， ． 因为 ， 所以 ， 解得 ． （2）由（1）知， ． ． 解法一： 因为 ，所以 ， 从而 ． 解法二： ． 因为 ，所以 ． 因此 ． 【2018年】 8. （2018年全国Ⅲ卷理数）的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】由题可得 令,则，所以，故选C. 9. （2018年浙江卷）二项式的展开式的常数项是___________． 【答案】7 【解析】二项式的展开式的通项公式为, 令得，故所求的常数项为 10 （2018年天津卷）在的展开式中，的系数为____________. 【答案】 【解析】结合二项式定理的通项公式有：， 令可得：，则的系数为：. 【2017年】 11.【2017课标1，理6】 展开式中 的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【解析】因为 ，则 展开式中含 的项为 ， 展开式中含 的项为 ，故 前系数为 ，选C. 12.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有 种方法，然后进行全排列 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有 种方法。 故选D。 13.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】 1080 【解析】 14.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 . 【答案】4 【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得． 【2016年】 15.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） （A）24 （B）18 （C）12 （D）9 【答案】B 【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ，故选B. 16.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则 的展开式中含x4的项为 （A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4 【答案】A 【解析】二项式 展开的通项 ，令 ，得 ，则展开式中含 的项为