专题03 导数及其应用-十年高考数学（理）客观题（2012-2021）真题分项详解

专题03 导数及其应用 【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古 1. 设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 . 有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点， 在 左右附近都是小于零的. 当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示： 由图可知 ， ，故 . 当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示： 由图可知 ， ，故 . 综上所述， 成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 【2021年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西 2. 曲线 在点 处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当 时， ，故点在曲线上． 求导得： ，所以 ． 故切线方程为 ． 故答案为： ． 【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建 3. 若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ， 所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ， 由题意可知，点 在直线 上，可得 ， 令 ，则 . 当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减， 所以， ， 由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ， 当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示： 由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知 . 故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建 4. 函数 的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，即可求 最小值. 【详解】由题设知： 定义域为 ， ∴当 时， ，此时 单调递减； 当 时， ，有 ，此时 单调递减； 当 时， ，有 ，此时 单调递增； 又 在各分段的界点处连续， ∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增； ∴ 故答案为：1. 【2020年】 5.（2020·新课标Ⅰ）函数 的图像在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ， ， ， ， 因此，所求切线的方程为 ，即 . 6.（2020·新课标Ⅲ）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ） A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y= x+1 D. y= x+ 【答案】D 【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ， 函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ， 设直线 的方程为 ，即 ， 由于直线 与圆 相切，则 ， 两边平方并整理得 ，解得 ， （舍）， 则直线 的方程为 ，即 . 【2019年】 7．（2019·全国Ⅲ卷】已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 A． B．a=e，b=1 C． D． ， 【答案】D 【解析】∵ ∴切线的斜率 ， ， 将 代入 ，得 . 故选D． 8．（2019·天津卷）已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时， 恒成立； 当 时， 恒成立， 令 ， 则 ， 当 ，即 时取等号， ∴ ，则 . 当 时， ，即 恒成立， 令 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减， 则 时， 取得最小值 ， ∴ ， 综上可知， 的取值范围是 . 故选C. 9．（2019浙江卷）已知 ，函数 ．若函数 恰有3个零点，则 A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0