专题2.6三角函数的应用：方向角问题（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【鲁教版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【鲁教版】 专题2.6三角函数的应用：方向角问题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020春•雨花区校级月考）如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，AB∥x轴，△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB，利用三角函数解答即可． 【解析】∵∠AOD＝45°，∠BOD＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∵AB∥x轴， ∴∠BAO＝∠AOC＝45°，∠ABO＝∠BOD＝45°， ∴△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB， ∵OB+OA+AB＝60km， ∵OB＝OAAB， ∴AB， 故选：B． 2．（2020•唐山二模）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，30分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（　　） A．海里/小时 B．15海里/小时 C．里/小时 D．30海里/小时 【分析】易得△ABC是直角三角形，利用三角函数的知识即可求得答案． 【解析】∵∠CAB＝10°+20°＝30°，∠CBA＝80°﹣20°＝60°， ∴∠C＝90°， ∵AB＝10海里， ∴AC＝AB•cos30°＝15（海里）， ∴救援船航行的速度为：1530（海里/小时）． 故选：D． 3．（2021•桥西区模拟）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100）海里的港口B出发．沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（　　） A．：2 B．：1 C．：2 D．：1 【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD＝x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案． 【解析】过C作CD⊥AB于D， 设AD＝x， 由题意得∠CAD＝45°，∠NBC＝60°， 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ACD＝∠CAD， ∴CD＝AD＝x， ∴ACx， 在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣60°＝30°， ∴BC＝2CD＝2x， ∴BDx， ∵AB＝100+100， ∴AD+BD＝xx＝100+100， ∴（1）x＝100（1）， ∴x＝100， 即AD＝100海里， ∴AC＝100海里，BC＝200海里， ∵时间一定时速度与路程成正比， ∴客轮与补给船的速度之比为100：200：2， 故选：A． 4．（2021•九台区一模）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们要测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离．现测得亭子A位于点P北偏西30°方向，亭子B位于点P北偏东α方向，测得点P与亭子A之间的距离为200米．则亭子A与亭子B之间的距离为（　　） A．100+100•sinα米 B．100+100•tanα米 C．100米 D．100米 【分析】直接利用直角三角形的性质结合锐角三角函数关系得出PC，BC的长，进而得出答案． 【解析】过点P作PC⊥AB于点C， 由题意可得：∠APC＝30°，PA＝200m，∠CPB＝α， 则ACAP＝100m，PC＝PAcos30°＝100米， 故tanα， 则BC＝100•tanα米， 故AB＝AC+BC＝（100+100•tanα）米． 故选：B． 5．（2020•江都区三模）如图，在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（　　）km． A． B． C． D．2 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求出答案． 【解析】过点C作CD⊥AB于点D， 根据题意得：∠CAD＝90°﹣60°＝30°， ∠CBD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝30°