专题2.5三角函数的应用：仰角俯角问题（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【鲁教版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【鲁教版】 专题2.5三角函数的应用：仰角俯角问题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020•二道区校级模拟）如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是（　　） A．（480300）米 B．（960300）米 C．780米 D．1260米 【分析】易证∠BAC＝∠BCA，得BA＝BC．然后在直角△BCE中，利用锐角三角函数定义求出CE，即可得出答案． 【解析】由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点． 已知AB＝960米，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°， ∵∠BCA＝∠EBC﹣∠BAC＝30°， ∴∠BAC＝∠BCA． ∴BC＝BA＝960（米）． 在Rt△BEC中，sin∠EBC， ∴CE＝BC•sin60°＝960480（米）． ∴CF＝CE+EF＝（480300）米， 故选：A． 2．（2021•章丘区模拟）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（　　）m． A．10 B．15 C．15 D．155 【分析】先根据CD＝10m，DE＝5m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBE＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解析】在Rt△CDE中， ∵CD＝10m，DE＝5m， ∴sin∠DCE， ∴∠DCE＝30°． ∵∠ACB＝60°，DF∥AE， ∴∠BGF＝60° ∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°． ∵∠BDF＝30°， ∴∠DBF＝60°， ∴∠DBC＝30°， ∴BC10（m）， ∴AB＝BC•sin60°＝1015（m）． 故选：B． 3．（2021•龙岗区校级一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（　　） A．米 B．90米 C．120米 D．225 米 【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决． 【解析】由题意可得， α＝30°，β＝60°，AD＝90米，∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝90米， ∴tanα， ∴BD＝30（米）， 在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝90米， ∴tanβ， ∴CD＝90（米）， ∴BC＝BD+CD＝3090120（米）， 即这栋楼的高度BC是120米． 故选：C． 4．（2021•九龙坡区校级模拟）重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） A．20.8 B．21.6 C．23.2 D．24 【分析】根据题意可得，∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，AH＝HC，根据DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2，可得DN＝2，CN＝4.8，设DG⊥AB，垂足为G，在Rt△ADG中，∠ADG＝37°，根据锐角三角函数即可求出AB的大约高度． 【解析】根据题意可知： ∠AHC＝90°，∠ACH＝45°， ∴AH＝HC， ∵DN：NC＝i＝1：2.4，CD＝5.2米， ∴DN＝2米，CN＝4.8米， 设DG⊥AB，垂足为G， 在Rt△ADG中，∠ADG＝37°， ∵AG＝AB﹣GB＝AB﹣（DN﹣EF）＝AB﹣1.2， 又DG＝NH＝CN+HC＝4.8+AH＝4.8+AB+0.8＝AB+5.6， ∴tan