2.7 函数与方程-2022高考理科数学【步步高】大一轮复习讲义（北师大版课件）豫赣陕皖桂

大一轮复习讲义 第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.7　函数与方程 考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在性定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 主干梳理　 基础落实 题型突破　 核心探究 课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 知识梳理 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的定义 函数y＝f (x)的图像与横轴的交点的 称为这个函数的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图像与 有交点⇔函数y＝f (x)有 ． (3)函数零点存在性定理 若函数y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a)·f (b)<0，则在区间 内，函数y＝f (x)至少有一个零点，即相应的方程f (x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解． 横坐标 x轴 零点 (a，b) 5 2.二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法． f(a)f(b)<0 一分为二 6 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像与零点的关系   Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像       与x轴的交点 _______________ _______ 无交点 零点个数 2 1 0 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 7 微思考 1.函数f(x)满足什么条件，才能保证f(x)在(a，b)上有唯一零点. 提示　f(x)在(a，b)上连续且单调，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点. 2.能否用二分法求任意方程的近似解. 提示　不能.用二分法求方程的近似解应具备两个条件，一是方程对应的函数在零点附近连续不断，二是该零点左、右的函数值异号. 题组一　思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.(　　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)<0. (　　) (3)若f(x)在(a，b)上连续，且f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)上没有零点.(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(　　) 基础自测 × × × √ 题组二　教材改编 2.下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是 解析　对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解. √ 3.已知函数y＝f(x)的图像是连续的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解析　由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3个零点. √ 4.若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是__________. (－∞，4) 题组三　易错自纠 5.函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为 √ 解析　当a＝0时，f(x)＝－x－1， 令f(x)＝0得x＝－1， 故f(x)只有一个零点为－1. 当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0， 13 6.若函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是 ________. 解析　由题意知2a＋b＝0，则b＝－2a， 令g(x)＝bx2－ax＝0， 14 TIXINGTUPO HEXINTANJIU 2 题型突破 核心探究 1.(2020·开封模拟)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 题型一　函数零点所在区间的判定 自主演练 √ 解析　∵f(x)在(0，＋∞)上是增加的， 且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0， 故f(x)在(2,3)上有唯一零点，故选C. 2.若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分