第三章 强化训练2 导数中的综合问题-2022高考理科数学【步步高】大一轮复习讲义（北师大版课件）豫赣陕皖桂

大一轮复习讲义 第三章　导数及其应用 强化训练2　导数中的综合问题 1.(2020·秦皇岛模拟)如图是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是 A.在(－3,1)上，f(x)是增函数 B.当x＝1时，f(x)取得极大值 C.在(4,5)上，f(x)是增函数 D.当x＝2时，f(x)取得极小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础保分练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，在(4,5)上，f′(x)＞0，f(x)为增函数，正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.a<c<b √ 解析　由题意可得f′(x)＝ax2＋bx＋c， 则f′(x)>0的解集为(－3,1)， 即f′(x)＝a(x＋3)(x－1)＝0，a<0， 可得b＝2a，c＝－3a，∴b<a<c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知实数x，y满足2x＋2x<2y＋2y，则 A.x>y B.x＝y C.x<y D.x，y的大小不确定 √ 解析　设f(t)＝2t＋2t， 所以f′(t)＝2＋2tln 2>0， 所以函数f(t)在R上是增函数， 由题意得f(x)<f(y)，所以x<y. 4.已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，对于任意的x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤m，则实数m的最小值为 A.0 B.2 C.4 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　对于任意x1，x2∈[－1,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤m， 即f(x)max－f(x)min≤m， f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2). 当x∈(－1,0)时，f′(x)>0，f(x)是增加的； 当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)是减少的； ∴当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝2， ∵f(－1)＝－1－3＋2＝－2，f(1)＝1－3＋2＝0， ∴f(x)min＝－2， ∴m≥f(x)max－f(x)min＝4，即m的最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.定义在R上的函数y＝f(x)满足f(10－x)＝f(x)，(x－5)f′(x)>0(x≠5)，若f(－1)f(1)<0，则函数f(x)在区间(9,11)内 A.没有零点 B.可能有无数个零点 C.至少有2个零点 D.有且仅有1个零点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　∵函数y＝f(x)满足f(10－x)＝f(x)， ∴函数y＝f(x)图像的对称轴为直线x＝5. 又∵(x－5)f′(x)>0， ∴当x<5时，f′(x)<0；当x>5时，f′(x)>0. ∴函数y＝f(x)在(－∞，5)上是减少的，在(5，＋∞)上是增加的. 又f(－1)f(1)<0，且由对称性得， f(－1)＝f(11)，f(1)＝f(9)，则f(9)f(11)<0. 又函数f(x)在区间(9,11)上是增加的， ∴函数f(x)在区间(9,11)内有且仅有1个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知函数f(x)＝x3－sin x＋ex－ ，其中e是自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　由于f(x)＝x3－sin x＋ex－ ，则f(－x)＝－x3＋sin x＋e－x－ex＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数. 故原不等式f(a－1)＋f(2a2)≤0，可转化为f(2a2)≤－f(a－1)＝f(1－a)， 即f(2a2)≤f(1－a)， 又f′(x)＝3x2－cos x＋ex＋e－x， 由于ex＋e－x≥2，故ex＋e－x－cos x>0， 所以f′(x)＝3x2－cos x＋ex＋e－x≥0恒成立， 故函数f(x)是增加的， 则由f(2a2)≤f(1－a)可得，2a2≤1－a， 即2a2＋a－1≤0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　f′(x)＝(x2＋2x－a)ex≥0在区间[1,2]上恒成立， 则x2＋2x－a≥0在区间[1,2]上恒成立， 即a≤(x2＋2x)min