3.3 导数与函数的极值、最值-2022高考理科数学【步步高】大一轮复习讲义（北师大版课件）豫赣陕皖桂

大一轮复习讲义 第三章　导数及其应用 §3.3　导数与函数的极值、最值 考试要求 1.借助函数图像，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 内容 索引 主干梳理　 基础落实 题型突破　 核心探究 课时精练 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.函数的极值与导数 知识梳理 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图像     极值 f(x0)为_______ f(x0)为______ 极值点 x0为__________ x0为________ 极大值 极小值 极大值点 极小值点 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的 ； ②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 连续不断 极值 端点处的函数值f(a)，f(b) 1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的什么条件？ 微思考 提示　必要不充分. 2.函数的极大值一定大于极小值吗？ 提示　不一定.函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值. 题组一　思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.(　　) (2)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　) (3)函数的极小值一定不是函数的最大值.(　　) (4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点.(　　) × 基础自测 × √ × 题组二　教材改编 2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图像，则f(x)的极小值点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析　由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0， 且其两侧导数符号为左负右正. 3.当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是__________. 可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点， 也是最大值点， 故f(x)≤f(1)＝－1<0， 所以ln x<x. 同理可得x<ex，故ln x<x<ex. ln x<x<ex 4.现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________. 则V′＝a2－8ax＋12x2＝(a－2x)(a－6x)， 题组三　易错自纠 5.函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是 √ 解析　f′(x)＝3x2－2ax＋2， 由题意知f′(x)有变号零点， ∴Δ＝(2a)2－4×3×2>0， 4 解析　f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]， 当x∈[0,2)时，f′(x)<0， 当x∈(2,3]时，f′(x)>0， 所以f(x)在[0,2)上是减少的， 在(2,3]上是增加的. 又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m. 所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4. TIXINGTUPO HEXINTANJIU 2 题型突破 核心探究 题型一　利用导数求函数的极值问题 多维探究 例1　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是 A.f(x)有两个极值点 B.f(－2)为函数的极大值 C.f(x)有两个极小值 D.f(－1)为f(x)的极小值 命题点1　根据函数图像判断极值 √ 解析　由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0， ∴f′(x)<0， 当x∈(－2,0)时，g(x)<0，∴f′(x)>0， 当x∈(0,1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0. ∴f(x)在(－∞，－2)，(0,1)上是减少的， 在(－2,0)，(1，＋∞)上是增加的. 故ABD错误，C正确. 例2　已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值. 命题点2　求已知函数的极值 x (0， ) ( ，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 极小值 ↗ 解　因为f(x)＝x2－1－2aln x(x>0)， ①当a<0时，因为x>