3.2 导数与函数的单调性-2022高考理科数学【步步高】大一轮复习讲义（北师大版课件）豫赣陕皖桂

大一轮复习讲义 第三章　导数及其应用 §3.2　导数与函数的单调性 考试要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式 函数一般不超过三次). 主干梳理　 基础落实 题型突破　 核心探究 课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 函数的单调性与导数的关系 知识梳理 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在(a，b)上________ f′(x)<0 f(x)在(a，b)上________ f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是________ 是增加的 是减少的 常数函数 5 1.“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的什么条件？ 微思考 提示　若f(x)在(a，b)上是增加的，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的充分不必要条件. 2.若函数f(x)在区间(a，b)上存在递增区间，则在区间(a，b)上，f′(x)应满足什么条件？ 提示　若f(x)在(a，b)上存在递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解. 题组一　思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性. (　　) (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减少的. (　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定是增加的. (　　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　) √ 基础自测 × √ √ 题组二　教材改编 2.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下列判断正确的是 A.在区间(－2,1)上f(x)是增加的 B.在区间(1,3)上f(x)是减少的 C.在区间(4,5)上f(x)是增加的 D.在区间(3,5)上f(x)是增加的 √ 解析　在区间(4,5)上f′(x)>0恒成立， ∴f(x)在区间(4,5)上是增加的. 3.函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上是增加的 解析　y′＝－xsin x， 经验证，只有在(π，2π)内y′>0恒成立， ∴y＝xcos x－sin x在(π，2π)上是增加的. √ 9 4.函数f(x)＝(x－2)ex的递增区间为________. 解析　f(x)的定义域为R， f′(x)＝(x－1)ex， 令f′(x)＝0，得x＝1， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0， ∴f(x)的递增区间为(1，＋∞). (1，＋∞) 10 题组三　易错自纠 5.若函数f(x)＝ ＋ax＋4的递减区间为[－1,4]，则实数a的值为____. －4 解析　f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的递减区间为[－1,4]， ∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]， ∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根， 则a＝(－1)×4＝－4. 11 6.若y＝x＋ (a>0)在[2，＋∞)上是增加的，则a的取值范围是________. (0,2] ∵函数在[2，＋∞)上是增加的， ∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又a>0，∴0<a≤2. 即a2≤x2恒成立， ∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4， ∴a2≤4，又a>0，∴0<a≤2. 12 TIXINGTUPO HEXINTANJIU 2 题型突破 核心探究 1.函数f(x)＝x2－2ln x的递减区间是 A.(0,1) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－1,1) 题型一　不含参的函数的单调性 自主演练 令f′(x)＝0，得x＝1， ∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)是减少的； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)是增加的. √ 2.函数f(x)＝x＋2 的递增区间是 A.(0,1) B.(－∞，1) C.(－∞，0) D.(0，＋∞) 解析　f(x)的定义域为(－∞，1]， √ 当0<x<1时，f′(x)<0. 当x<0时，f′(x)>0. ∴f(x)的递增区间为(－∞，0)，递减区间为(0,1). 3.已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的递增区间为_______________. 解析　f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π). 4.函数f(x)＝(x－1)ex－x2的递增区间