3.1 导数的概念及运算-2022高考理科数学【步步高】大一轮复习讲义（北师大版课件）豫赣陕皖桂

大一轮复习讲义 第三章　导数及其应用 §3.1　导数的概念及运算 考试要求 1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图像，理解导数的几何意义. 3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数. 6.了解定积分的背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解 微积分基本定理的含义. 内容 索引 主干梳理　 基础落实 题型突破　 核心探究 课时精练 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 知识梳理 1.导数与导函数的概念 (1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果 ，那么这个值就是函数y＝f (x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f (x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ __________________＝____________________ . 平均变化率趋于一个固定的值 (2)如果一个函数f (x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝____________________ ，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f (x)的导函数，通常也简称为导数． 2.导数的几何意义 函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝ . f′(x0) 基本初等函数 导数 f (x)＝c(c是常数) f′(x)＝___ f (x)＝xα(α是实数) f′(x)＝______ f (x)＝sin x f′(x)＝_____ f (x)＝cos x f′(x)＝______ f (x)＝ex f′(x)＝___ f (x)＝ax(a>0) f′(x)＝______ f (x)＝ln x f′(x)＝____ f (x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝_____ 0 αxα－1 cos x －sin x ex axln a 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝ . (2)[f (x)g(x)]′＝ . f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f (x)g′(x) 5.复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. yu′·ux′ 6.定积分的性质 1.根据f′(x)的几何意义思考一下，随着|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？ 微思考 提示　|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭. 2.函数f(x)在点P处的切线与函数f(x)过点P的切线有什么区别？ 提示　在点P处的切线，点P一定是切点；过点P的切线，点P不一定是切点. 3. f(x)dx的值是否总等于曲线f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？ 提示　不是.函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0时，定积分 f(x)dx的值才等于由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积. 题组一　思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　 　) (2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　) (3)函数f(x)的切线与f(x)的图像只有一个公共点.(　　) (4)若f(x)＝2x，则f′(x)＝x·2x－1.(　　) × 基础自测 × × × 题组二　教材改编 2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为 A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒 D.2.75米/秒 √ 解析　h′(t)＝－9.8t＋8， ∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1. 3.已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________. 解析　f′(x)＝1＋ln x＋2ax， ∴f