1.1 认识三角形（二）三角形的高、中线与角平分线-【备考无忧】2021-2022学年八年级数学上册同步提优精练（浙教版）

备考无忧系列备考无忧系列 1.1认识三角形（二） 三角形的高、中线与角平分线 知识点管理 夯实双基，稳中求进归类探究 三角形的高1 定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； 注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点， 直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点； 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 题型一：找三角形的高 【例题1】（2020·浙江期末）如图，在中，的延长线于点D，的长线于点E．于点C，延长线于点E，于点C，下列说法错误的是（ ） A．是的AB边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．不是的高． 【点睛】本题考查了三角形的高的概念，属于基础题，比较简单，需牢记理解三角形高的概念． 变式训练 【变式1-1】（2020·浙江杭州市期末）在下图中，正确画出边上高的是（ ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可． 【详解】解：画出AC边上高就是过B作AC的垂线，故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握高的作法． 【变式1-2】（2021·江苏盐城市·七年级期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义，逐项判断即可 【详解】A.该选项作的是边上的高，不符合题意； B.该选项作的是边上的高，符合题意； C.该选项作的不是三角形边上的高，不符合题意； D. 该选项作的不是三角形边上的高，不符合题意；故选B 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，理解定义是解题的关键． 【变式1-3】（2020·浙江期中）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在直线AC上，然后结合各选项图形解答． 【详解】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键． 题型二：与三角形高的有关计算 【例题2】（2020·浙江期末）若线段和线段分别是边上的中线和高，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【点睛】本题型考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．平行线间的距离相等，等底等高的三角形面积相等的性质，找出等底等高的三角形是解题的关键． 变式训练 【变式2-1】（2021·河北七年级期末）如图，线段AD，AE，分别是的高线，角平分线，中线，比较线段，AD，AE，的长短，其中最短的是（ ） A．AF B．AE C．AC D．AD 【变式2-2】（2020·哈尔滨市虹桥初级中学校月考）如图，D、E分别是ABC的AC，AB边上的点，BD，CE相交于点O，若，那么S四边形ADOE＝_____． 【变式2-3】（2020·广西南宁市·南宁三中月考）如图，已知，则中边上的高的长度为_______． 题型三：垂心 【例题2】（2020·民勤县第六中学期中）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能 【点睛】本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键. 变式训练 【变式3-1】（2020·安岳县石羊镇初级中学期中）如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式3-2】（2020·浙江台州市·椒江区第五中学期中）如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是______． 三角形的中线2 定义：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 几何语言：AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 三角形有三条中线，且相交于一点，这一点叫做三角形的重心； 注意：中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 题型四：与中线有关的长度计算 【例题4】（2020·浙江期末）已知是的中线，，，且的周长为11，则的周长是（ ） A．14 B．9 C．16 D．不能确定 【点睛】此题型考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键． 变式训练 【变式4-1】 （2020·四川成都市·天府七中期中）是的边上的中线，若的周长比周长大5，则与的差