2.2 基本不等式 第2课时 （课时练）-2021-2022学年高一上学期数学人教A版2019必修第一册

2.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用 一.单选题 1．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　 ) A．a>>>b　　　 B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> C【解析】∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>>.∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.故b>>>a. 2．正实数，且，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． B【解析】，当且仅当时等号成立，又，即，当且仅当时等号成立，的最小值为. 3．若正数满足，当取得最小值时，的值为（ ） A． B．2 C． D．5 B【解析】∵ x+3y=5xy，x＞0，y＞0，∴ ∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3 ，当且仅当即x=2y=1时取等号,的值为2. 4．某市为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为（ ） A．300吨 B．400吨 C．500吨 D．600吨 B【解析】月处理成本（元）与月处理量（吨）的函数关系为，所以平均处理成本为，其中，又 ，当且仅当时，即时，每吨的平均处理成本最低. 5．若－4<x<1，则(　　) A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 D【解析】　＝，又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0，∴＝ －≤－1，当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立． 6．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　) A．6.5 m　　 　B．6.8 m C．7 m D．7.2 m C【解析】设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)(当且仅当a＝b时，取等号)．因为要求够用且浪费最少. 二.多选题 7．下列结论不正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最小值是2. C．当时，的最小值为5 D.若，则的最小值为 BCD【解析】选项A，当时，，，当且仅当时取等号，正确；选项B，当时，，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因此的最小值不是2，结论错误，选项C，因为，所以，则 ，当且仅当，即时取等号，结论错误； 选项D，因为不是定值，结论错误. 8．小明从甲地到乙地往返的速度分別为和，其全程的平均速度为，则（ ） A． B． C． D． AD【解析】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，.，由基本不等式可得，另一方面，，，则. 三.填空题 9．若，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，因此，的最大值为. 10.（2021山东省泰安市一中高一期末）为教室消毒，向室内喷洒某消毒液，已知室内消毒液浓度（单位：）随时间（单位：min）的变化关系为，则经过_______min后室内消毒液浓度达到最大. 【答案】5 【解析】由题当且仅当且t＞0，即时取等号. 四．解答题 11.（2021山东省济南市历城二中高一期末）有一批材料,可以建成长为240米的围墙.如图,如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形,怎样围法才可取得最大的面积?并求此面积. 【解析】设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知， ，当且仅当取等号，所以时. 12.【引例P49习题2.2第7题】 （变式1）某药店有一架不准确的天平（其左右两臂不等长）和一个50克的砝码．一名顾客想要购买100克 中药，营业员便分两次为他称量．第一次，他将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后将药物交给顾 客；第二次，他将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后将药物交给顾客．问，营业员这样称量，顾客 实际得到的药物是否正好是100克？说明理由（不考虑其他因素造成的误差）． 【解析】（变式1）设天平左臂长为a，右臂长为b，由已知，a≠b， 又设营业员第一次和第二次称量的药物重量分别为x克和y克． 则有， 所以， 于是