知识点16 函数应用-2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲+例+测（苏教版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册） 知识点16函数应用 讲 教材知识梳理 函数的零点 概念：我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点． 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 用二分法求方程的近似解 用二分法求方程的一个近似解的操作流程 步骤1　　　　　 ↓转化为 步骤2　　　　　 　　　　　　　　　　　↓f(a)f(b)<0 步骤3　　　　　 ↓ 步骤4　　　　　 ↓f(c)的符号 步骤5　　　　　 ↓连续重复步骤4,5 步骤6　　　　　 　　　　　　　　　　　　↓x0≈m 步骤7　　　　　 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 几个函数模型的比较 指数变化 当a>1时，指数函数y＝ax随着x的增大而增大，且增大的速度越来越快，呈“爆炸”的趋势，因此“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容． 当0<a<1时，指数函数y＝ax随着x的增大而减小，并逐步趋向于0. 幂函数、指数函数与对数函数的增长趋势比较 1．当x的值足够大(x>16)时，函数y＝2x，y＝x2，y＝x0.5，y＝log2x函数值大小关系是2x>x2>x0.5>log2x. 2．对于函数y＝ax(a>1)，y＝xα(α>0)与y＝logax(a>1)，当x足够大时，总有ax>xα>logax. 不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律． 函数的实际应用 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 几类已知函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 例 例题研究 一、用二分法求方程的近似解 题型探究 例题1 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 -6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】 根据表中数据可知，，由精确度为可知，，故方程的一个近似解为，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解. 例题2 在用二分法求方程log2x=x的一个近似解时，现在已经将一根锁定在（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为 A．（1.4，2） B．（1，1．4） C．（1，1.5） D．（1.5，2） 【答案】C 【分析】根据函数的零点定理即可求出 【详解】 令 则， ， 由，知根所在区间为 故选 【点睛】考查了运用二分法求方程的近似解，由二分法取其中间值代入再次计算比较和0的大小关系，从而得到结果． 跟踪训练 训练1 若在区间内的零点通过二分法逐次计算，参与数据如下表： 那么方程的一个近似根为（精度为0.1） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【分析】由图中数据可得，，可判断函数零点的所在区间，结合题中要求的精确度，即可选出答案． 【详解】 由图中数据可知，，，可知函数零点在区间上，因为要求精确度为0.1