知识点15 三角函数应用-2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲+例+测（苏教版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册） 知识点15三角函数应用 讲 教材知识梳理 三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 解三角函数应用问题的基本步骤 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 三角函数在物理中的应用 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 例 例题研究 一、三角函数在生活中的应用 题型探究 例题1 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从（注：此时）开始沿顺时针方向走动，则点的纵坐标与时间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件先确定周期从而求解出的值，设出与时间的函数关系式（注意秒针是顺时针方向转动），根据初始位置计算出的值从而求解出关系式. 【详解】 由题意，函数的周期为，∴. 设函数解析式为（秒针是顺时针走动）. ∵初始位置为，∴时，.∴，可取. ∴函数的解析式为. 故选C. 【点睛】考查利用三角函数的实际模型求解函数解析式 例题2 九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示阴影部分为镶嵌在墙体内的部分已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(注：1丈尺寸，，) A．600立方寸 B．610立方寸 C．620立方寸 D．633立方寸 【答案】D 【分析】由三角形，利用勾股定理可得半径，进而得，再利用，乘以高即可得体积. 【详解】 连接，设⊙的半径为， 则，所以. 由于， 所以，即. 所以 平方寸． ∴该木材镶嵌在墙中的体积为立方寸， 故选D． 【点睛】考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式，柱体的体积公式，属于中档题 跟踪训练 训练1 某同学在做研究性学习时发现，在邢台大峡谷景区，每年到访的游客人数会发生周期性的变化．现假设该风景区每年各个月份游客的人数（单位：万人）可近似地用函数来刻画．其中：正整数表示月份且，例如时表示二月份；和是正整数；．统计发现，风景区每年各个月份游客人数有以下规律： ①每一年相同的月份，该风景区游客人数大致相同； ②该景区游客人数最多的八月份和最少的二月份相差约400000人； ③二月份该风景区游客大约为100000人，随后逐渐增加，八月份达到最多． （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式； （2）一般地，当该地区游客超过400000人时，该风景区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该风景区的旅游“旺季”？请说明理由． 【答案】（1）；（2）一年中的7，8，9，10四个月是该风景区的旅游“旺季”，理由见解析． 【分析】 （1）由实际问题的周期性且周期为、淡旺季数据，结合数学模型即可求，，进而可得表达式； （2）由（1）结合已知条件即可求出的范围，结合实际条件即可知旺季所含月份． 【详解】 （1）根据三条规律，可知该函数为周期函数且周期为12，可得，即， 由规律②③可知，，解得：， 综上可得，； （2）由条件，，可得 ∴，，即， 又，，所以，，故：，8，9，10， 即一年中的7，8，9，10四个月是该风景区的旅游“旺季”． 【点睛】考查了三角函数的实际应用． 训练2 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深(米）是随着一天的时间（，单位小时)呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表: （1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中），观察散点图，选择一个合适的函数模型，并求 出该拟合模型的函数解析式； （2）为保证队员安全，规定在一天中的时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全. 【答案】（1）（2）这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练， 才能确保集训队员的安全. 【解析】 分析：（1）根据表中近似数据画出散点图，选做为函数模型，由此利用三角函数的图象和性质能求出该拟合模型的函数解析式． （2）由（1）知：，令，即，从而，