知识点12 指数函数与对数函数-2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲+例+测（苏教版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册） 知识点12指数函数与对数函数 讲 教材知识梳理 指数函数 指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，图象在x轴的上方 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 如何判断形如y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的函数的单调性？ 答案:(1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律． 指数函数的图象变换 (1)平移变换 y＝f(x)y＝f(x＋a)， y＝f(x)y＝f(x)＋k. (2)对称变换 y＝f(x)y＝－f(x)， y＝f(x)y＝f(－x)， y＝f(x)y＝－f(－x)． 对数函数 对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 对数型函数的性质及应用 1．y＝logaf(x)型函数性质的研究 (1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域． (2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域． (3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定)． (4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定． (5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值． 例 例题研究 一、指数函数的图象和性质 题型探究 例题1 如图是指数函数①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的图象，则，b，c，d与1的大小关系是（ ） A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c 【答案】B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】 根据函数图象可知函数①y=；②y=为减函数，且时，②y=①y=， 所以， 根据函数图象可知函数③y=cx；④y=dx为增函数，且时，③y=c1④y=d1， 所以 故选：B 【点睛】考查了指数函数的单调性，指数函数的图象. 例题2 函数的图象上关于坐标原点对称的点共有（ ） A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 【答案】B 【分析】作出函数的图象如图所示，再作出关于原点对称的图象，根据交点个数得解. 【详解】 作出函数的图象如图所示，再作出关于原点对称的图象，记为曲线.容易发现与曲线有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的就是符合题意的点. 故选：B. 【点睛】解答本题的关键是作出函数位于轴左侧的图象关于原点的对称图象，从而转化为二次函数图象与指数函数图象的交点个数问题，就容易解答了. 作关于原点对称的图象时，要把握好其三要素开口方向、对称轴和顶点. 跟踪训练 训练1 如