知识点11 幂函数-2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲+例+测（苏教版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册） 知识点11幂函数 讲 教材知识梳理 幂函数的性质 1．函数y＝xα，当α>0时，具有的性质： (1)函数的图象都过点(0,0)和(1,1)； (2)在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是增函数． 2．函数y＝xα，当α<0时，具有的性质： (1)函数的图象都过点(1,1)； (2)在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数． 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 例 例题研究 一、幂函数的性质 题型探究 例题1 幂函数y=xα中α的取值集合C是{–1，0，，1，2，3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为 A．{–1，0，} B．{，1，2} C．{–1，，1，3} D．{，1，2，3} 【答案】C 【分析】对α=–1，0，，1，2，3逐一讨论得解. 【详解】 根据幂函数y=x–1，y=x0，y=，y=x，y=x2，y=x3的图象和解析式可知，当α=–1时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为；当α=时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为；当α=1时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为R；当α=3时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为R，故选C． 【点睛】考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 例题2 若函数是幂函数且为奇函数，则的值为 A．2 B．3 C．4 D．2或4 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义，求得或，分别代入函数的解析式，验证函数的奇偶性，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，函数是幂函数，可得， 解得或， 当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意； 当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意， 故选D. 【点睛】考查了幂函数的定义，以及幂函数的图象与性质的应用 跟踪训练 训练1 已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则满足f(x)＝27的x的值为(　　) A．3 B． C．27 D． 【答案】D 【分析】由幂函数的图象经过点，可求出，代入可求. 【详解】 因为幂函数的图象经过点，所以 ，所以 .又因为，所以，x－3＝27，所以. 故选D. 【点睛】考查幂函数的概念及其应用，属基础题. 训练2 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象与性质，求出的值，根据的定义域与单调性，再把不等式化为等价的不等式组，求出它的解集即可. 【详解】 幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数， 所以，解得， 因为，所以或， 当时，，图象关于轴对称，不满足题意； 当时，，图象关于原点对称，满足题意， 不等式化为， ， 因为函数在上递减， 所以， 解这个不等式，得， 即实数的取值范围是，故选B . 【点睛】考查了幂函数的图象与性质的应用问题. 二、幂函数的解析式 题型探究 例题1 已知幂函数的图象过点，则等于（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由幂函数的定义可得，将点的坐标代入解析式，计算可得的值，相加即可得答案． 【详解】 解：根据题意，函数为幂函数，则， 若其图象过点，则有，解可得， 则； 故选：． 【点睛】考查幂函数的定义以及解析式的求法，注意幂函数解析式的形式，属于基础题 例题2 以下命题正确的是（ ） ①幂函数的图像都经过 ②幂函数的图像不可能出现在第四象限 ③当时，函数的图像是两条射线（不含端点） ④是奇函数，且在定义域内为减函数 A．①② B．②④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【分析】 形如，的函数是幂函数，当时，图象过点，并且在第一象限是增函数，当时，函数只过定点，并且在第一象限是减函数，根据幂函数的解析式，幂函数的图象和性质，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】 ①幂函数不经过原点，所以①不正确； ②形如，的函数是幂函数，当时，，