第03讲 三角形一边的平行线-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第3讲 三角形一边的平行线 知识梳理 1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，直线DE // BC，那么． l A B C D E A B C D E A B C D E l l 2、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．A B C D E 如图，点、分别在的边、上， DE // BC，那么． 3、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． A B C D E A B C D E A B C D E 6、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． B C D E F G 7、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等． 题型探究 题型一、利用平行线性质求比例（比值）、长度、面积等 【例1】如图，在中，，，，，求． 【答案】4． 【解析】，代入可得：． 【例2】如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，射线AE交DC的延长线于点F，AB=2,BE=3EC,那么DF的长为 . 【答案】. 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC=AB=2，又∵CF∥AB,∴,∴CF=，则DF=2+CF=. 【例3】如图,在中，平分，，厘米，， 求的长． 【答案】． 【解析】，． 由，代入可求得：． 又，． 又平分， ． ， ． 【例4】如图，在△ABC中，点G是△ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF=4，那么BE= . 【答案】8． 【解析】∵点G是△ABC的重心，DE∥AC，∴,由题意可得，四边形CEDF为平行四边形，则DF=CE=4,∴BE=2CE=8. 【例5】如图，已知在中，，，，，， 求四边形的周长． 【答案】16． 【解析】，． 又，， ， 四边形为平行四边形． 代入可求得：， ． 【例6】如图，在中，，于点，点是中点，过点作的垂线交于点，，则 ． 【答案】． 【解析】由，， 即得：，可得：． 又，， //， ． 【例7】如图，在等腰中，AB=AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE=6，FD=3,则的面积 ． 【答案】． 【解析】∵点F是△ABC的重心，∴=2,∴AF=2FD=6，AD=9，BF=4， 又∵AB=AC，AD是边BC上的中线，∴AD垂直于BC,∴由勾股定理得，BD=CD=, ∴S△ABC=. 题型二、利用平行线判定证明线段平行 【例8】如图，中，点在边上，点在边上，下列命题中不正确的是（ ） （A）若//，则 A B C E F （B）若，则// （C）若//，则 （D）若，则// 【答案】D 【解析】A、B、C选项都可由三角形一边平行线性质定理及其判定定理可判定正确，D选 项不符合定理判定内容．故选:B. 【例9】如图，点、在的边上，点在边上，且//，． 求证：//． A B C D E F 【答案】见解析． 【解析】证明：， ， 则． 又， ， //． 【例10】点、分别在的边、上，且//，以为一边作平行四边 形，延长、交于点，连接，求证：//． 【答案】略．A B C D E F G H 【解析】证明：//， ． 又四边形为平行四边形， ． ， ， ， //． 题型三、利用平行线分线段成比例求线段长 【例11】如图，////，，，， 求、的长． B C A D E F 【答案】． 【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性，可得，代入求得，则． 【例12】如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、， 且////．已知，，，求、的长． C B A D E F 【答案】． 【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性， 可得，代入求得， 则． 题型四、构造“A”与“8”字型 【例13