第02讲 比例线段-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第2讲 比例线段 知识梳理 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为），其中； 除以所得的商叫做比值，如果，那么. （1）如果（或），那么就说、、、成比例．其中是、、的第四比例项. （2）如果，则是、的比例中项. 要点：（1）比例表达是有顺序的；（2）比例中项：. 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果，那么；（外项积等于内向积） 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么（如果是实数运算，要注意强调）． （4）合分比性质：如果，那么. 3、比例线段的概念 对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 要点：（1）注意顺序：线段、、、成比例，则；线段、、、能够构成比例线段，则有三种情况. （2）线段的比例中项： 4、黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． A P B 黄金分割相关图形： 要点：（1）一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，可能有两解； （2）简记方法： 题型探究 题型一、比例求值 【例1】 （1） 已知则 . （2）若则 . （3）设且，则 . （4）若且则 . （5）若则 . 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2或-1；（5）8或-1； 【解析】（1）设，则； （2） 设，则； （3）根据等比的性质，； （4）设，三式相加可得，， 因为，当时，两边同除以，则 当，有，则.综上，k的值为2或-1. （1） 设则，将上面三式相加得，，当时，两边同除以，则所以所以. 当，有，，所以综上，式子的值为8或-1. 方法总结：求比例式的比值的方法，往往用设“k”法来求解. 题型二、比例线段与比例中项 【例2】 （1） 下列线段、、、四条线段，成比例线段的是（ ） A. B. B. D. 【答案】B 【解析】A.12×4≠5×12,所以不成比例，A不符合题意； B.1×15=5×3,所以成比例，B符合题意； C.13×2≠8×12,所以不成比例，C不符合题意； D.0.02×5≠0.3×0.7,所以不成比例，D不符合题意； 故答案为：B. 方法总结：判断四条线段是否是成比例线段的方法： 先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后， 方法1：判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等； 方法2： 判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等. 若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段不是成比例线段. （2） 已知线段、、、成比例. ①若，则 ； ②若的第四比例项是4，则的值为 . ③已知则的比例中项 . 【答案】①15cm；②2；③24. 【解析】①:5:b=3:9,所以b=15； ②，所以，所以，因为，，所以； ③因为，所以，所以，又因为，所以. （3） 已知,求证：的比例中项. 证明：设,所以，所以， 且，所以，所以的比例中项. 题型三、黄金分割 【例3】 （1） “黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐.目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该是小狗置于画面中的位置（ ） A. ① B. ② C. ③ D.④ 【答案】B 【解析】如图：DE≈0.618DC,GF≈0.618EG，所以按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置②，故选：B. （2） 我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形成为黄金矩形.如图，在黄金矩形ABCD（AB>BC）的边AB上取一点E，使得BE=BC,连接DE,则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设AB=m，因为矩形ABCD是黄金矩形，所以BC=，所以AE=， 所以. （3） 点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）,则 . 【答案】 【解析】根据黄金分割的原则，. （4） 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP=，则AB的长为 . 【答案】2或 【解析】如图，线段