第01讲 相似形与比例线段-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第1讲 放缩与相似形 知识梳理 1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，简称相似形． 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 要点： (1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； （3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （4）相似多边形对应边的比称为相似比． 题型探究 题型一、相似形的判断 【例1】有以下命题： （1） 邻边之比为2 : 3的两个平行四边形相似； （2） 有一个角是40°的两个菱形相似； （3） 两个矩形相似； （4） 两个正方形相似，其中正确的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】邻边之比固定，但邻边的夹角不确定，形状不一定相同，①错误；矩形每个角都是90度，但长宽之比不确定，即对应边不一定成比例，③错误；故选B． 【例2】如图，有三个矩形，其中是相似形的是（ ） 甲 乙 丙 3 2 1.5 2.5 1.5 1 A.甲与乙 B.甲与丙 C.乙与丙 D.以上都不对 【答案】B 【解析】甲：长:宽=3：2；乙：长：宽=2.5：1.5=5：3；丙：长：宽=1.5：1=3：2；所以甲与丙的对应边成比例，故选择B. 【例3】（2021•龙港区一模）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】A 【解析】解：第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：， 第二个三角形的三边的三边之比为：：：， 第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：， 第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：， 只有第一和第三个三角形的三边成比例， 所以只有第一和第三个三角形相似， 故选：A． 题型二、相似形性质的应用 【例4】将一个多边形I放大或缩小得到多边形II，那么在多边形I和多边形II的对应量中，没有被放大或缩小的是（ ） A.多边形的边长 B.多边形的周长 C.多边形的面积 D.多边形的内角 【答案】D 【解析】放缩运动后，多边形的边长会放大或者缩小，同时周长与面积也会发生变化，所以A、B、C不正确，而放缩后，角不变，故选择D. 【例5】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 cm和4 cm，另一边矩形的边长为6 cm，则另一边长为______． 【答案】4.8cm或7.5cm． 【解析】设矩形另一边长为cm，根据相似形的定义，对应边成比例，可知或，解得：或． 【例6】在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3 cm的两地，它们的实际距离为 （　　） 　　A.3 km　　 B.30 km　　 C.300 km　　 D.3 000 km 【答案】B． 【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺．所以3cm：实际距离=1：1000 000，故实际距离=3000 000cm=30km。 【例7】如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似的图形，点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知数据如图所示，求未知边x、y的长度和角α、β的大小． 【答案】x＝6，y＝15；α＝155°β＝55°. 【解析】解：在四边形ABCD中，∠D＝∠D'＝β＝55°， ∠A＝α＝360°﹣55°﹣90°﹣60°＝155°， ∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴＝＝， ∴x＝6，y＝15． 【例8】如图，△ABC和△ADE是相似形，AE=5cm，AC=6cm，BC=12cm，∠ACB=40°，∠B=∠D. （1） 求∠AED的度数； （2）求DE的长. 【答案】（1）∠AED=40°；（2）DE=10cm. 【解析】（1）∵△ABC ~△ADE，∠B=∠D，∠DAE=∠BAC,∴∠ACB=∠AED, 又∵∠ACB=40°，∴∠AED=40° （2）∵△ABC ~△ADE，∴, ∵AE=5cm，AC=6cm，BC=12cm, ∴,∴DE=10cm. 举一反三 1.(2020秋•期末）观察下列图形中，是相似图形的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.形状不相同，不符合相似形的定义，故不符合题意； A. 形状相同，且大小不同，符合相似形的定义，故符合题意； B. 形状不相同，不符合相似形的定义，故此项不符合题意； C. 形状不相同，所以不符合相似形的定义，此项不符合题意； 故