2.2.1 不等式及其性质-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

2．2　不等式 2．2.1　不等式及其性质 1．通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．培养数学抽象素养． 2．掌握不等式的性质，能运用不等式的性质证明简单不等式及解不等式．提升逻辑推理素养． 　实数的运算与其大小的关系 1．如果在数轴上两个不同的点A与B分别对应不同的实数a与b，若点A在点B的右侧，则a与b存在什么关系？ 提示：a＞b. 2．根据实数的运算性质与大小顺序的关系，如何比较两个实数的大小？ 提示：可以通过作差比较差值与0的大小． 实数的运算与其大小的关系： a－b＞0⇔a＞b； a－b＝0⇔a＝b； a－b＜0⇔a＜b． 不等式a≤b的含义是指a＜b或a＝b等价于“a不大于b”，即若a＜b与a＝b中有一个正确即a≤b正确． 　不等式的性质 1．已知3＞2，若两边同乘以2，不等式成立吗？若两边同乘以c(c为常数)，不等式成立吗？ 提示：同乘以2，不等式成立；两边同乘以c，不等式不一定成立，当c＝0时，3c＝2c；当c＞0时，3c＞2c；当c＜0时，3c＜2c. 2．两个同向不等式相加，不等号方向不变，那么两个同向不等式相减，不等号的方向变化吗？ 提示：同向不等式具有可加性，但同向不等式不具有可减性，如：8＞3，－2＞－9，但8－(－2)＜3－(－9)． 3．我们知道，若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd.那么，如果a＜b＜0，c＜d＜0，则ac与bd的大小关系如何？ 提示：因为a＜b＜0，c＜d＜0，所以－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，所以有－c×(－a)＞－d×(－b)，即：ac＞bd. 　不等式的性质 性质 名称 性质内容 注意 性质1 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 性质2 可乘性 如果c＞0，a＞b⇔ac＞bc c的符号 性质3 可乘性 如果c＜0，a＞b⇔ac＜bc 性质4 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 不可逆 性质5 对称性 a>b⇔b<a 可逆 推论1 移项法则 a＋b＞c⇔a＞c－b 可逆 推论2 同向可加性 ⇒a＋c＞b＋d 同向，不可逆 推论3 同向同正可乘性 ⇒ac＞bd 同向，同正 不可逆推论4 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n＞1) 同正，不可逆 推论5 可开方性 a＞b＞0⇔＞ 同正，可逆 1.注意不等式性质成立的前提条件，如推论2只要求同向即可，推论3不仅同向而且同正． 2．注意不等式性质的等价性．有些性质是单向，如推论2，a＞b，c＞d是a＋c＞b＋d的充分不必要条件．有些性质是双向的，如性质3，如果c＜0，则a＞b是ac＜bc的充要条件． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立．(　　) (2)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　) (3)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数．(　　) (4)若a＞b，且ab≠0，则.(　　)＜ (5)若a＞b，则a2＞b2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．下列命题中正确的是(　　) A．a＞b，c＞d⇒a－c＞b－d B．a＞b⇒＞ C．ac＜bc⇒a＜b D．ac2＞bc2⇒a＞b 解析：对于A，如3＞2，2＞0，但3－2＞2－0不成立，故A不正确；对于B，当c＜0时，a＞b⇒，故B不正确；对于C，当c＜0时，ac＜bc⇒a＞b，故C不正确，D正确，选D.＜ 答案：D 3．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________． 解析：M－N＝a2＋a＋1＝＞0，∴M ＞N.＋ 答案：M ＞N 4．(多选题)下列条件中能使成立的是(　　)< A．b>0>a　　　　　　　　 B.0>a>b C．a>0>b D.a>b>0 解析：由＜0， ＜0，即－，可得＜ 故ABD可推出. ＜ 答案：ABD eq \a\vs4\al(,) 　用不等式(组)表示不等关系(小组探究) 　(链接课本“情境与问题”)某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 【尝试解答】　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆， 则即 eq \a\vs4\al() 用不等式(组)表示不等关系的解题思路 用不等式(组)正确表示出不等关系，要先弄清题意，分清是常量与常量，变量与变量，变量与常量，还是函数与函数之间的不等关系；然后类比等式的建立找到不等关系，选准不等号，将量与量之间用不等号连接．要注意不等式与不等关系的对应，做到