4.2.1 第二课时 等差数列通项性质-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

第二课时　等差数列通项性质 2的倍数：2，4，6，8，10，12是公差为2的等差数列，3的倍数：3，6，9，12，15，18是公差为3的等差数列．那么两个数列对应项的和是等差数列吗？公差是多少？两个数列相同的项是等差数列吗？公差是多少？ 1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律． 2．理解等差数列的性质． 3．会运用等差数列的性质解决问题． 4．培养学生逻辑推理、数学运算的学科素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 若数列{an}是公差为d的等差数列，由等差数列的定义可得{an}具有如下性质： (1)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)，d＝aq(ap与aq是等差数列{an}中的任意两项，且p≠q)．ap－(n≠m)，由此得an＝ap＋(n－p)d＝ 特别地，若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0. (2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． 推广：若m＋n＋t＝p＋q＋r，则am＋an＋at＝ap＋aq＋ar(m，n，t，p，q，r∈N*)． 特别地，①若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N*)； ②有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…. (3)下标成等差数列的项ak，ak＋m，ak＋2m，…组成以md为公差的等差数列． (4)数列{tan＋λ}(t，λ是常数)是公差为td的等差数列． (5)若数列{bn}为等差数列，则数列{tan±λbn}(t，λ是常数)仍为等差数列． [独立思考] 1．已知等差数列任意两项求公差的几何意义是什么？ 提示：直线上任意两点求斜率． 2．等差数列{an}中，若m＋n＝p(m、n、p∈N*)，则am＋an＝ap吗？ 提示：am＋an≠ap.不符合等差数列的性质． 3．等差数列{an}中，若m＋n为偶数，且m、n∈N*，那么am＋an与a有什么关系？ 提示：. ＝a 　等差数列性质的应用 [小组探究] 若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？ [互动探究] 例1►　(1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，求2a9－a10的值． 【解】　由等差数列的性质得： a1＋3a8＋a15＝5a8＝120， ∴a8＝24，又2a9＝a8＋a10， ∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. (2)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式． 【解】　∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9， ∴a5＝3.∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，① 又a3a5a7＝－21， ∴a3a7＝－7.② 由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1. ∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2. 由通项公式的变形公式an＝a3＋(n－3)d， 得an＝2n－7或an＝－2n＋13. (3)在等数差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，求a7的值． 【解】　法一　设公差为d，则2d＝a5－a3＝－9＋5＝－4，则d＝－2，故a7＝a3＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13. 法二　由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13. eq \a\vs4\al() 1．利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示． 2．若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如：a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11. [合作交流] 1．已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为(　　) A．10　　　　　　　　 B．－10 C．15 D．－15 解析：法一　设等差数列{an}的公差为d，则30＝(a1＋3d)＋(a1＋6d)＋(a1＋9d)＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.而a3－2a5＝(a1＋2d)－2(a1＋4d)＝－a1－6d＝－10. 法二　由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.而a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10. 答案：B 2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________． 解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5， ∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，解得a5＝90. ∴a2＋a8＝2a5＝180. 答案：180 　等差数列的设元 [小组探究] 在△ABC中，A、B、C的角度成等差数列，角B是多少？ [互动探究] 例2►　(1)三