4.1 第一课时 数列的定义与表示-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

4．1　数列的概念 第一课时　数列的定义与表示 在《庄子·天下》中有句名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，形象地说明了事物具有无限可分性．依次写出每次得到的数为：1，，…，那么这些数有什么特征？可用什么式子表示？，，， 1．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单数列的表示法、列表、图象、通项公式，了解数列是一种特殊的函数． 2．通过具体实例写通项公式，培养数学抽象、逻辑推理的素养及归纳推理能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．数列的定义 (1)一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列(sequence of number)，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用a1表示，也叫做首项，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示． (2)数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 2．数列的表示 (1)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． (2)与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示．数列的图象是一群孤立的点． (3)通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式，通项公式就是数列的函数解析式． 3．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 有穷数列 项数有限的数列 个数 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 [独立思考] 1．数列{an}与集合{a1，a2，…，an}有什么区别？ 提示： 数列 集合 各项必须是数 集合中的元素可以是数字，也可以是其他形式 数列中的数是有顺序的，如1，2，3与1，3，2代表不同的数列 集合中的元素具有无序性，如{1，2，3}＝{1，3，2} 同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，1，… 集合中的元素具有互异性，如1，1，1，1，…组成的集合只能写为{1} 2.数列{an}与an相同吗？ 提示：数列{an}与an是不同的．{an}表示数列：a1，a2，a3，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项． 3．数列an＝f(n)与函数y＝f(x)有什么关系？ 提示：当x∈N*或N*的有限子集时，y＝f(x)就是数列的通项公式，否则，y＝f(x)与an＝f(n)完全不同． y＝f(x)的图象是线，而an＝f(n)图象是y＝f(N*)上的点(1，f(1))，(2，f(2))，…. 　根据数列的前几项写出通项公式 [小组探究] (1)数列：0，0，0，0，0，…单调性如何？an＝？ (2)本节“情景与问题”的数列，1，…单调性如何？an＝？， [互动探究] 例1►　根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式： (1)－3，0，3，6，9，…； (2)3，5，9，17，33，…； (3)2，0，2，0，2，0，…； (4)，…. ，，－，，－， 【解】　(1)a1＝－3＋0×3，a2＝－3＋1×3，a3＝－3＋2×3，a4＝－3＋3×3，…. ∴an＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N*)． (2)a1＝2＋1，a2＝4＋1＝22＋1，a3＝8＋1＝23＋1，a4＝16＋1＝24＋1，…，∴an＝2n＋1(n∈N*)． (3)a1＝1＋1，a2＝1－1，a3＝1＋1，a4＝1－1，…. ∴an＝1＋(－1)n－1(n∈N*)． (4)a1＝－(n∈N*)．，…，∴an＝(－1)n，a4＝，a3＝－，a2＝ eq \a\vs4\al() 根据数列的前几项求通项公式的思路 (1)统一项的结构，如都化成分数，根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n处理符号． (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． [合作交流] 1．写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数： (1)，…；，8，，2， (2)a，b，a，b，a，b，…； (3)，…；，－，，－ (4)2，22，222，2 222，…. 解：(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，n∈N*.，…，所以，它的一个通项公式为an＝，，，， (2)这是个摆动数列，原数列的