4.1 第二课时 数列的通项公式与递推公式-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

第二课时　数列的通项公式与递推公式 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项． 那么a2是a1的多少倍？a3是a2的多少倍？a4是a3的多少倍？依此类推an是an－1(n≥2)的多少倍？ 1．了解递推公式是给出数列的一种方法． 2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项． 3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法和研究数列的单调性的方法． 4．培养逻辑推理、数学抽象的学科素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了． 2．数列的前n项和 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，于是我们有an＝ [独立思考] 1．类似bn＝an·an＋1的式子是不是数列{bn}的递推公式？ 提示：不是．它只是说明数列{bn}中的各项是由{an}中的an与an＋1的积构成． 2．数列{an}满足递推关系>1，可否说明{an}是递增数列？ 提示：不能说明．当an>0时，{an}为递增数列，而当an<0时，{an}为递减数列. 　由递推公式写出数列的项 [小组探究] 数列{an}中，若a1＝1，an＝an－1＋1，{an}中两项之间有什么规律？ [互动探究] 例1►　已知数列{an}的第一项是1，以后各项由公式an－1＝2an－2(n>1)给出，写出这个数列的前5项． 【解】　∵an－1＝2an－2(n>1)， ∴an＝1＋an－1(n>1)． 又a1＝1，∴a2＝1＋， ×1＝a1＝1＋ a3＝1＋， ＝×a2＝1＋ a4＝1＋， ＝×a3＝1＋ a5＝1＋. ＝×a4＝1＋ eq \a\vs4\al() 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． [合作交流] 1．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2＋，试写出a2，a3，a4，a5. 解：a2＝2＋＝3， ＝2＋ a3＝2＋， ＝＝2＋ a4＝2＋， ＝＝2＋ a5＝2＋.＝＝2＋ 　由递推公式写出通项公式 [小组探究] 若{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋2，那么{an}的通项公式怎么求？ [互动探究] 例2►　(1)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________．－na 【解析】　法一(累乘法)　把(n＋1)a＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.－na ∵an>0，∴an＋1＋an>0， ∴(n＋1)an＋1－nan＝0， ∴， ＝ ∴·…··· ＝， ×…××× ∴.＝ 又∵a1＝1，∴an＝.a1＝ 法二(迭代法)　同法一，得， ＝ ∴an＋1＝an， ∴an＝·an－2··an－1＝ ＝·an－3·· … ＝a1. a1＝·…··· 又∵a1＝1，∴an＝. 法三(构造特殊数列法)　同法一，得， ＝ ∴(n＋1)an＋1＝nan， ∴数列{nan}是常数列， ∴nan＝1·a1＝1， ∴an＝. 【答案】　 (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，写出该数列的前5项，并归纳出它的一个通项公式． 【解】　法一　a1＝1， a2＝a1＋， ＝＝1＋ a3＝a2＋， ＝＋＝ a4＝a3＋， ＝＋＝ a5＝a4＋. ＝＋＝ 故数列的前5项分别为1，.，，， 由于1＝， ＝，＝，＝，＝， 故数列{an}的一个通项公式为an＝. ＝2－ 法二　由an＝an－1＋， －得an－an－1＝ ∴a2－a1＝1－， a3－a2＝， － a4－a3＝， － … an－an－1＝. － ∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝， ＋…＋＋ ∴an－a1＝1－， ∴an＝2－.，而a1＝1适合．故an＝2－ ∴a2＝.，a5＝，a4＝，a3＝ (3)已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2，求{an}的通项公式． 【解】　∵Sn＝－2n2＋n＋2， ∴当n≥2时，Sn－1