4.3.1 第一课时 等比数列通项公式-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第一课时　等比数列通项公式 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是，…. ，，，， 你发现每个数之间成怎样的递推关系？还是等差数列吗？ 1．通过生活实例，理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式． 2．在具体问题中判断等比关系，并能解决有关问题． 3．培养数学抽象、数学运算的学科素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．等比数列 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 数学符号 在数列{an}中，如果(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比＝q(n≥2，n∈N*) 2.通项公式 等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． 3．等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． [独立思考] 1．等比数列的前一项与后一项的比是同一常数吗？是公比吗？ 提示：是同一个常数，但它不是公比． 2．等比数列中的项或公比可以为0吗？ 提示：q≠0且数列中的任何一项都不可为0. 3．数列a、a、a、a、…既是等差数列又是等比数列吗？ 提示：当a≠0时，既是等差数列又是等比数列； 当a＝0时，只是等差数列. 　等比数列的通项公式及运用 [小组探究] 本节的情境问题中，每天的棰长是等比数列吗？公比是多少？通项公式如何？ [互动探究] 例1►　在等比数列{an}中， (1)若a5＝8，a7＝2，an>0，求an； (2)若a1＝，求n；，q＝，an＝ (3)若an＋4＝a4，求q. 【解】　(1)由已知得得 ∵an>0，∴ ∴an＝128×.＝ (2)由an＝a1·qn－1，得， ＝ 即，得n＝4.＝ (3)∵an＋4＝a4q(n＋4)－4＝a4qn， 又an＋4＝a4，∴qn＝1. ∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1. eq \a\vs4\al() 与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，an＝a1·qn－1(a1q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q≠0验证求得的结果． [合作交流] 1．在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：(1)因为 所以 由，而a1q3＝2， 得q3＝4，从而q＝ 于是a1＝.，所以an＝a1qn－1＝2＝ (2)法一　因为 由，从而a1＝32.得q＝ 又an＝1，所以32×＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6. 　等比中项及其应用 [小组探究] 在等比数列a1，a2，a3，a4，a5中，a2可以是谁的等比中项？a3可以是谁的等比中项？ [互动探究] 例2►　(1)两数的等比中项是(　　) 与 A.　　　　　　　　　　 B．－ C．－ D．或 【解析】　设等比中项为a，则a2＝.或a＝，故a＝－＝× 【答案】　C (2)已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为(　　) A. B． C. D． 【解析】　因为1，a1，a2，9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3，9是等比数列，所以b.＝＝b2>0，所以b2＝3，所以＝1×9＝9，因为b 【答案】　C (3)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 【解】　法一　设四个数依次为a－d，a，a＋d，， 由条件得 解得或 所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 法二　设四个数依次为，a，aq(a≠0)．－a， 由条件得或解得 所以，当q＝2，a＝8时，所求四个数为0，4，8，16； 当q＝，a＝3时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. eq \a\vs4\al() 在解决与等比数列有关数的设法时常用的规律 (1)三个数成等比数列时，常设三个数为a，aq，aq2或，a，aq； (2)