4.3.1 第二课时 等比数列通项性质-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

第二课时　等比数列通项性质 等差数列{an}中，有a1＋an＝a2＋an－1＝…，类比其性质，等比数列{an}中有什么类似的性质？ 1．结合等差数列的性质，了解等比数列的性质的由来． 2．理解等比数列的性质并能应用． 3．培养数学抽象、数学运算、逻辑推理的学科素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．等比数列的项与序号的关系以及性质 设等比数列{an}的公比为q. (1)两项关系：an＝am·qn－m(m，n∈N*)． (2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq． (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，am，an，ap成等比数列． 2．等比数列构造的新数列 若数列{an}是公比为q的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列． (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列；偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列． (3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1. (4){a}仍是等比数列，公比为q2. (5){can}仍是等比数列，公比为q. (6)若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1，q2， 则①{an·bn}仍为等比数列，且公比为q1·q2； ②. 仍为等比数列，且公比为 [独立思考] 1．等比数列的图象有什么特征？ 提示：是函数y＝·qx上的一群孤立的点． 2．公比q>1是等比数列为递增数列的充要条件吗？ 提示：不是．当a1>0，q>1时，等比数列为递增数列， 当a1<0，0<q<1时，等比数列为递增数列． 3．当q<0时，等比数列有什么特征？ 提示：是正、负相间的摆动数列. 　等比数列性质的应用 [小组探究] 等比数列{an}中，a1·a9＝10，那么a5＝？a4·a6＝？ [互动探究] 例1►　(1)已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为(　　) A．10　　　　　　　　　　 B．20 C．100 D．200 【解析】　a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＝(a4＋a6)2＝102＝100.＋2a4a6＋a 【答案】　C (2)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1·a2·…·a8＝16，则的值为(　　) ＋…＋＋ A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】　由分数的性质得到＝2.＋…＋＋，又a1·a2·…·a8＝16＝(a4a5)4，an>0，∴a4a5＝2，∴＝.因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝＋…＋＋＝＋…＋＋ 【答案】　A (3)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________． 【解析】　因为{an}为等比数列，所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11.又a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10a11＝a9a12＝e5.所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝ln e50＝50. 【答案】　50 eq \a\vs4\al() 利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． [合作交流] 1．已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式． 解：(1)法一　∵an>0，∴a1>0，q>0. 又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即aq8＝36， q6＋aq4＋2a ∴aq4(1＋2q2＋q4)＝36， 即aq4(1＋q2)2＝36. 又∵an>0，∴a1q2(1＋q2)＝6， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6. 法二　∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a＝36， ＋2a3a5＋a ∴(a3＋a5)2＝36. 又∵an>0，∴a3＋a5＝6. (2)∵a＝8，∴a2＝2.＝a1a3，代入已知，得a 法一　设前三项为，2，2q， 则有＋2＋2q＝7. 整理得，2q2－5q＋2＝0， ∴q＝2或q＝. ∴或 ∴an＝2n－1或an＝4×＝23－n. 法二　从而 解得a1＝1，a3＝4，或a