4.2.1 第一课时 等差数列通项公式-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

4．2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第一课时　等差数列通项公式 正整数1，2，3，4，5，…构成一个数列，你能发现这个数列前后项之间有什么关系？有什么规律？ 1．通过实例，理解等差数列的概念，能在具体的问题情境中，发现等差数列的取值规律． 2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念． 3．培养学生数学建模、数学抽象、数学运算的学科素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．等差数列 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 递推关系 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 通项公式 an＝a1＋(n－1)d(n∈N*) 2.等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，这三个数满足的关系式是2A＝a＋b． 3．等差数列与一次函数的关系 由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)，当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 反之，任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，…构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为k＋b，公差为k． [独立思考] 1．等差数列中前项减后项是同一个常数吗？这个常数是等差数列的公差吗？ 提示：是同一个常数，不是该数列的公差． 2．常数列是等差数列吗？它的公差是多少？ 提示：是等差数列，公差为0. 3．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于常数，这个数列是等差数列吗？ 提示：不一定，只有当每一项与它的前一项的差等于“同一个常数”时才是等差数列. 　等差数列的通项公式及运用 [小组探究] 若等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n.则它的首项和公差各是多少？ [互动探究] 例1►　在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1和d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 【解】　(1)由题意知： 解得 (2)由题意知： 解得 ∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17. eq \a\vs4\al() 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．一般地，在a1，d，n，an中知三求一． [合作交流] 1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(　　) A．40　　　　　　　　　　 B．42 C．43 D．45 解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＋a3＝13，可得2a1＋3d＝13.∵a1＝2，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝42. 答案：B 2．已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________． 解析：法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得解得 故a75＝a1＋74d＝＝24. ＋74× 法二　∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝， ＝ ∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 法三　已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得＋4＝24.∴a75＝75×解得 法四　由题意可知A(15，8)，B(60，20)，C(75，a75)三点共线，则，解得a75＝24.＝ 法五　∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d′，a15为首项，则a60为第四项， ∴a60＝a15＋3d′，即20＝8＋3d′，解得d′＝4，∴a75＝a60＋d′＝20＋4＝24. 答案：24 　等差中项及其应用 [小组探究] 等差数列{an}中，若a7＋a9＝16，那么a8可确定吗？ [互动探究] 例2►　(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． 【解】　法一　设a1＝－1，a5＝7. ∴7＝－1＋(5－1)d⇒d＝2. ∴所求的数列为－1，1，3，5，7. 法二　∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项．∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. (2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列，求p，q的值． 【解】　由x1＝3，得2p＋q