6.4.3 第三课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评课时作业（人教A版）

1．已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距(　　) A．10 km　　　　　　　 B．10eq \r(3) km C．10eq \r(5) km D．10eq \r(7) km 解析：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°＝700， ∴AC＝10eq \r(7) km. 答案：D 2．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过eq \r(3) h，该船实际航程为(　　) A．2eq \r(15) km B．6 km C.eq \r(84) km D．8 km 解析：v实＝eq \r(22＋42－2×4×2×cos 60°)＝2eq \r(3)(km/h)．所以实际航程为2eq \r(3)×eq \r(3)＝6(km)． 答案：B 3．从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45°，A，B间距离是35 m，则此电视塔的高度是(　　) A．5eq \r(21) m B．10 m C.eq \f(4 900,13)m D．35 m 解析：作出示意图，设塔高OC为h m．在△OAC中，OA＝eq \f(h,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)h，OB＝h.AB＝35，∠AOB＝150°，由余弦定理求得h＝5eq \r(21)(m)． 答案：A 4．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为(　　) A．10eq \r(3) n mile B．eq \f(10\r(6) ,3)n mile C．5eq \r(2) n mile D．5eq \r(6) n mile 解析：在△ABC中，A＝60°，B＝75°，∴C＝45°. ∵eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)， ∴BC＝eq \f(AB·sin A,sin C)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq \r(6)(n mile)． 答案：D 5．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为(　　) A.eq \r(2)a km B．eq \r(3)a km C．a km D．2a km 解析：在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝eq \r(2)a. 答案：A 6.如图，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A．10eq \r(2)海里 B．10eq \r(3)海里 C．20eq \r(3)海里 D．20eq \r(2)海里 解析：由题中条件知，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝45°.由正弦定理，得eq \f(20,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，所以BC＝10eq \r(2)海里，故选A. 答案：A 7．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是(　　) A．5 B．10 C．10eq \r(2) D．10eq \r(3) 解析：如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°， 在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度． 在△ABB′中，∠B′＝30°， ∠BAB′＝75°－30°＝45°， AB＝10 m， 由正弦定理，得 BB′＝eq \f(ABsin 45°,sin 30°)＝eq \f(10×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝10eq \r(2)(m)． ∴坡底延伸10eq \r(2) m时，斜坡的倾斜角将变为30°. 答案：C 8．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　) A.eq \f(17\r(6),2)海里/小时 B．34eq \r(6)海里/小时 C.eq \f(17\r(2),2)海里/小时 D．34eq \r(2)海里/小时 解析：如图所示，在△PMN中，eq \f(PM,sin 45°)＝eq \f(MN,sin 120°)， ∵MN＝eq \f(68×\r(3),\r(2))＝34eq \r(6)， ∴v＝eq \f(MN,4)＝eq \f(17\r(6)