6.4.3 第二课时 正弦定理-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评课时作业（人教A版）

1．在△ABC中，下列式子与eq \f(sin A,a)的值相等的是(　　) A.eq \f(b,c)　　　　　　 B．eq \f(sin B,sin A) C.eq \f(sin C,c) D．eq \f(c,sin C) 解析：由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，∴eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin C,c). 答案：C 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2eq \r(2)，则c＝(　　) A.eq \f(\r(2),2) B．1 C.eq \r(2) D．2 解析：c＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理：eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)，得c＝eq \f(b,sin B)·sin C＝eq \f(2\r(2),sin 45°)·sin 30°＝2. 答案：D 3．在△ABC中，A＝60°，a＝eq \r(13)，则eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)等于(　　) A.eq \f(8\r(3),3) B．eq \f(2\r(39),3) C.eq \f(26\r(3),3) D．2eq \r(3) 解析：由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得 eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(13),sin 60°)＝eq \f(2\r(39),3). 答案：B 4．若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cos B,b)＝eq \f(cos C,c)，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形，且有一个角是30° C．等腰直角三角形 D．等腰三角形，且有一个角是30° 解析：由正弦定理：eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b)，∴sin B＝cos B， ∴eq \f(\r(2),2)sin B－eq \f(\r(2),2)cos B＝0，即sin(B－45°)＝0， ∴B＝45°，同理C＝45°. ∴A＝90°.即三角形为等腰直角三角形． 答案：C 5．在△ABC中，A＝30°，a＝3，则△ABC的外接圆半径是(　　) A.eq \f(3,2) B．3 C．3eq \r(3) D．6 解析：△ABC的外接圆直径2R＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(3,sin 30°)＝6，∴R＝3. 答案：B 6．在△ABC中，2cos B·sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解析：∵2cos B·sin A＝sin C，∴由正弦定理：2a·cos B＝c，由余弦定理：2a·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝c，即a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形． 答案：C 7．在△ABC中，若(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C＝(　　) A．2∶3∶4 B．3∶4∶5 C．6∶5∶4 D．7∶5∶3 解析：∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6， ∴设b＋c＝4k时，a＋c＝5k，a＋b＝6k， 解之得：a＝eq \f(7,2)k，b＝eq \f(5,2)k，c＝eq \f(3,2)k， 由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝eq \f(7,2)k∶eq \f(5,2)k∶eq \f(3,2)k＝7∶5∶3. 答案：D 8．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　) A．x＞2 B．x＜2 C．2＜x＜2eq \r(2) D．2＜x＜2eq \r(3) 解析：由asin B＜b＜a，得eq \f(\r(2),2)x＜2＜x，∴2＜x＜2eq \r(2). 答案：C 9．在△ABC中，a，b分别是△ABC的内角A，B所对的边．若B＝45°，b＝eq \r(2)a，则C＝________． 解析：∵B＝45°，b＝eq \r(2)a， ∴sin A＝eq \f(1,\r(2))sin B＝eq \f(1,\r(2))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2). ∵a＜b，∴A＝30°， ∴C＝180°－A－B＝180°－30°－45°＝105°. 答案：105° 10．在△ABC中，已知BC＝eq \r(5)，sin C＝2sin A，则AB＝________． 解析：由正弦定理eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AB,sin C)，得AB＝eq \f(sin C,sin A)·BC＝2