第5讲 一元二次方程的概念和配方法求解-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第5讲 一元二次方程的概念和配方法求解 1．经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2．会用开平方法解形如(x十m) ＝n(n 0)的方程． 3．理解一元二次方程的解法——配方法．1．一元二次方程的求根公式的推导 SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 一元二次方程相关定义和一般形式 （一）、一元二次方程定义 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 （二）、一元二次方程的一般形式 一元二次方程通常写成如下一般形式： ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)，其中ax2叫做二次项， a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数； c叫做常数项． 【知识拓展1】（1）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是一元二次方程，故此选项不符合； B、是一元二次方程，故此选项符合； C、不是一元二次方程，故此选项不符合； D、不是一元二次方程，故此选项不符合； 故选：B． （2）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：由题意可知：a﹣2＝0， ∴a＝2， ∵a+2≠0， ∴a的值为2， 故选：C． 【知识拓展2】将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． (1)4x-3=5x2； (2)2(x+2)+8=3x(x-1)． 解 (1)整理得，5x2-4x+3=0．二次项是5x2，二次项系数是5；一次项是-4x，一次项系数是-4；常数项是3． (2)整理得，3x2-5x-12=0．二次项是3x2，二次项系数是3；一次项是-5x，一次项系数是-5；常数项是-12． 【知识拓展3】判断2、5、-4是不是一元二次方程x2+x=8-x的根． 解：把x=2分别代入方程x2+x=8-x的两边，得 左边的值为22+2=6； 右边的值为8-2=6． 因为方程左右两边的值相等，所以x =2 是这个一元二次方程的根． 把x=5分别代入方程x2+x=8-x的两边，得 左边的值为52+5=30； 右边的值为8-5=3． 因为方程左右两边的值不相等，所以x=5不是这个一元二次方程的根． 同样，把x= -4分别代入方程x2+x=8-x的两边，得 左右两边的值相等，可知x = -4 是这个一元二次方程的根． 知识点02 直接开平方法和配方法 二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 一般地,对于形如 的方程，根据平方根的定义，可解得 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 能直接开平方法的一元二次方程形式有哪些？ ① 解为： ② 解为： ③ 解为： 备注：① = 2 \* GB3 ②为常见形式；学生没能答出③教师可作补充。 2、配方法 1：配方法解一元二次方程 问题1：如何把 转化为 的形式呢？ 观察： ……(1) ……(2) 逆向思维：我们把上述由方程(1)→方程(2)的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为 的形式．这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式 ．那么如何构造完全平方式呢？ 请试着完成下列填空： 观察与思考：括号内所填数有什么特点？ 总结规律：对于 再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一次式的完全平方式 即 . 【知识拓展1】用配方法解一元二次方程 . 解： 移常数项 两边配上一次项系数一半的平方 转化为 的形式 转化为 的形式 解得 求解 所以原方程的根是 ． 【即学即练1】解下列一元二次方程 （1） ； （2） ； 【答案】（1）x1=1，x2=-4；（2）x1= ，x2= 【详解】解：（1） ， ∴ ， ∴解得：x1=1，x2=-4； （2） ， ∴ ， ∴ ， 解得：x1= ，x2= ． 【即学即练2】 如何用配方法解方程 解： 移常数项 方程两边同除以二次项系数 两边配上一次项系数一半的平方 转化为 的形式 开平方 解得 求解 所以原方程