第一章 空间向量与立体几何 章末整合提升-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

章末整合提升 本章我们将平面向量推广到空间向量，学习了空间向量的运算，空间向量的坐标等；在此基础上学习了空间向量在立体几何中的应用．依照知识之间的联系，完成如下的知识结构图： 类型1　空间向量及其运算 空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础． 　(一题多解)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为矩形ABCD的中心，记. ＝c，试用a，b，c表示向量＝b，＝a， 【尝试解答】　解法一　如图所示， ∵M为矩形ABCD的中心， ∴M为AC中点， ∴)＋(＝ ＝])＋＋＋[( ＝[(－b－a＋c)＋c] ∴b＋c.a－＝－ 解法二　如图所示，∵M为矩形ABCD的中心， ∴＝0.＋ 又∵.①＋＋＋＝ ，②＋＝ ①＋②得 2＋＋＋＝ ＝－b－a＋2c. ∴b＋c.a－＝－ eq \a\vs4\al() 用已知基向量表示指定向量以及进行向量表达式的化简一定要结合实际图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，利用三角形法则或平行四边形法则求解． 应用数量积解决问题时一般有两种方法： (1)已知基向量的模及相互之间的夹角，先用基向量表示题中向量再计算； (2)建立空间直角坐标系利用坐标运算来解决． 1．设点C(2a＋1，a＋1，2)在点P(2，0，0)，A(1，－3，2)，B(8，－1，4)确定的平面上，则a的值为(　　) A．－7　　　　　　　　 B.4 C．－16 D.16 解析：＝(6，－1，4)．＝(－1，－3，2)， 根据共面向量定理，设(x，y∈R)， ＋y＝x 则(2a－1，a＋1，2)＝x(－1，－3，2)＋y(6，－1，4) ＝(－x＋6y，－3x－y，2x＋4y)， 所以 解得x＝－7，y＝4，a＝16. 答案：D 2．在空间四边形O­ABC中，其对角线为OB，AC，M是OA的中点，G为△ABC的重心，用基向量. 表示向量，， 解：如图所示，连接AG并延长交BC于点D，∴D为BC的中点． ∴)．＋(＝ ∵G为△ABC的重心， ∴)， ＋(＝＝ 又∵， －＝，－＝ ∴)．＋＋(－2)＝＋(＝ ∵M为OA的中点，∴.＝－ ∴)＋＋＋(－2＝－＝ ＝－.＋＋ 类型2　空间向量与平行垂直问题 空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一．利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决． 　如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.求证： (1)平面PQC⊥平面DCQ； (2)PC∥平面BAQ. 【尝试解答】　如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. (1)依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，DQ∩DC＝D.·＝0，·＝(1，－1，0)，所以＝(0，0，1)，＝(1，1，0)， 故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC. 所以平面PQC⊥平面DCQ. (2)根据题意，为平面BAQ的一个法向量．＝0，所以·＝0，·＝(0，1，0)，故有＝(0，0，1)，＝(1，0，0)， 又因为＝0， ·＝(0，－2，1)，且 即DA⊥PC，且PC⊄平面BAQ，故有PC∥平面BAQ. eq \a\vs4\al() 用空间向量判断空间中位置关系的类型与方法 (1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直． (3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到的一个向量与直线的方向向量是共线向量． (4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． (5)面面平行： ①证明两个平面的法向量平行(既是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直： ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 3.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点． (1)求证：CE∥平面C1E1F； (2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF. 证明：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 设BC＝1，则C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)，F(1，1，1)，E1. (1)设平面C1E1