第19讲 函数的应用与反函数（巩固基础+能力提升练习）-【教育机构专用】2021年暑期新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第19讲 函数的应用与反函数 (巩固基础+能力提升练习） 【巩固基础】 一、单选题 1．（2021·上海上外浦东附中高一期末）函数的零点一定位于区间（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在其定义域上连续，同时可判断f（2）＜0，f（3）＞0；从而可得解． 【详解】函数f（x）＝在其定义域上连续， f（2）＝2+2•2﹣6＝ln2﹣2＜0， f（3）＝ln3+2•3﹣6＝ln3＞0； 故函数的零点在区间（2，3）上， 故选B． 【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题． 2．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设函数和的定义域都是﹐对于下列四个命题： （1）若函数是奇函数，则函数是奇函数： （2）若函数是偶函数，则函数是偶函数； （3）若函数是严格减函数，则函数是严格增函数； （4）若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点； 其中正确的命题有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用函数单调性的定义可判断（3）的正误；取函数可判断（4）的正误. 【详解】对于（1），若函数是奇函数，则， 所以，，所以，函数是奇函数，（1）正确； 对于（2），若函数为偶函数，则， 所以，，所以，函数是偶函数，（2）正确； 对于（3），任取、且，由于函数是严格减函数，则， 所以，，所以，是严格增函数，（3）正确； 对于（4），函数的反函数是它本身， 此时函数有无数个零点，但函数无零点，（4）错误. 故选：C. 3．（2021·上海高一期末）已知函数，，的零点依次为、、，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化函数的零点为方程的根，然后在同一坐标系中画出函数，，和函数的图像，根据图象即可判断、、的大小关系． 【详解】已知函数，，的零点依次为、、， 即， ， ， 在同一坐标系中画出函数，，和函数的图像， 由图可知：． 故选：D 4．（2021·上海高一期末）函数的零点所在区间为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在原理，结合指数函数、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】设.易知该函数为减函数， ，， ， 因为，所以函数在此区间存在零点； 故选：B 5．（2020·上海市金山中学高一月考）已知函数，则方程的不相等的实数根的个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】方程知：或，画出图像分别判断交点个数，相加得到答案. 【详解】方程可解出或 方程的不相等的实根个数即两个函数或的所有不相等的根的个数的和， 方程的根的个数与两个函数，的图象与函数的图象的交点个数相同， 如图： 的图象与函数的图象的交点个数有个 的图象与函数的图象的交点个数有个，  故方程有个解，  故选：A 6．（2020·上海市大同中学高一月考）对于函数，若，则（ ） A．函数在区间上一定有零点 B．函数在区间上一定无零点 C．函数在区间上一定有两个零点 D．函数在区间上可能无零点 【答案】D 【分析】若函数的图象不连续，则函数在区间上可能无零点，可选出答案. 【详解】若函数的图象不连续，则函数在区间上可能无零点， 比如，当时，，该函数不存在零点. 所以ABC都不正确，只有D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查学生对零点存在性定理的理解，考查学生的推理能力，属于基础题. 7．（2020·上海普陀区·曹杨二中高一月考）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得有两个根，再利用有解可得答案. 【详解】因为有两个根， 所以，要使方程有三个不同的实根， 只需有解， 即在上有解， 因为在上， 所以实数k的取值范围是， 故选：B. 【点睛】本题主要考查分段函数的性质以及函数与方程思想的应用，属于基础题. 8．（2020·上海南汇中学高一期末）已知是函数的一个零点，若，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可 【详解】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示， 则当时，在下方，即； 当时，在上方，即， 故选：B 【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想 9．（2021·上海上外浦东附中高一期末）已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的图像必经过点，然后即可求出函数的图像一定经过点. 【详解】解：函数的图像经过点，则函