第一章 （综合培优）空间向量与立体几何 B卷-2021-2022学年高二数学同步单元AB卷（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何（B卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在平行六面体ABCD–A′B′C′D′的棱中，与向量 模相等的向量有 A．0个 B．3个 C．7个 D．9个 【答案】C 【解析】向量模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量 模相等的向量是： ，共 个.故选C. 2．已知 ， ，若 ，则实数 的值为（ ） A． B．1或 C． 或3 D．3 【答案】C 【解析】由题意可知， ； 因为 ，所以 所以 所以 或3. 故选：C. 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则D(0,0,0)，E(0， ，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， 所以 ＝(0， ，1)， ＝(－1,1,0)， 则 EMBED Equation.DSMT4 , 则异面直线DE与AC所成角的余弦值为 . 故选：B. 4．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ， ， ，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解： EMBED Equation.DSMT4 ， ， 设 ， 根据题意得， , , , . , , EMBED Equation.DSMT4 . 故选：A. 5．二面角 － － 为60°，A、B是棱 上的两点， 、 分别在半平面 内， ， ，且 ， ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为二面角 － － 为60°，A、B是棱 上的两点， 、 分别在半平面 内， ， ， 所以 ， ， 又 所以 EMBED Equation.DSMT4 . 所以 的长为 . 故选：D. 6．如图，在边长为 的正方体 中， 为 的中点，点 在底面 上移动，且满足 ，则线段 的长度的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图所示，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ， 则点 、 、 ，设点 ， ， ， ， ，得 ， 由 ，得 ，得 ， ， ，当 时， 取得最大值 . 故选：D. 7．如图，在 二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若 ，则线段CD的长为（ ） A． B．16 C．8 D． 【答案】D 【解析】分别过点 、点 作 、 的平行线相交于点 ，连接 ， 则四边形 为平行四边形. 线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB. ， 则 为二面角的平面角，即 ，如图所示. 为等边三角形， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 平面 ， 平面 平面 又 平面 EMBED Equation.DSMT4 在 中 故选：D 8．如图,四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,BC=BD=2,点E是CD的中点,异面直线AD与BE所成角的余弦值为 ,则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得AB,BC,BD两两垂直，以B为原点,BC,BD,BA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系．设AB=a,则A(0,0,a),E(1,1,0),B(0,0,0),D(0,2,0), 于是 =(0,2,-a), =(1,1,0), 因为异面直线AD与BE所成角的余弦值为 ， 所以|cos< >| , 于是 ,解得 ． 故 =(2,0,-4), =(0,2,-4), 设平面ACD的法向量为 ， 则 所以 令 ，得 ． 设直线BE与平面ACD所成角为 ， 则 ， 即直线BE与平面ACD所成角的正弦值为 ． 故选C． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．在正方体 中，下列结论正确的是（ ） A．四边形 的面积为 B． 与 的夹角为60° C． D． 【答案】ACD 【解析】如图 由 面 得 ，所以四边形 的面积为 ，故A正确； ∵ 是等边三角形，∴ ，又∵ ，∴异面直线 与 所成的夹角为60°，但是向量 与 的夹角为120°，故B错误； 由向量加法的运算法则可以得到 ，∵ ，∴ ，故C正确； 向量运算可得 ，∵在正方体 中， 面 ，∴ ，∴ ，故D正确. 故选：ACD 10．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A． B． C．向量 与向量 的夹角是60°