第一章 （基础过关）空间向量与立体几何 A卷-2021-2022学年高二数学同步单元AB卷（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何（A卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量 ，，且 与 互相垂直，则 的值为（ ） A．1 B． C． D． 2．已知平面 ， 的法向量分别为 和 （其中 ），若 ，则 的值为（ ） A． B．-5 C． D．5 3．与向量 共线的单位向量是（ ）． A． B． C． 和 D． 和 4．如图所示，在正方体 中，点 是棱 的中点，点 是棱 的中点，则异面直线 与 所成的角为（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 5．在空间四边形 中，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点．若 ， ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 6．如图，空间四边形 中， ， 分别是 ， 的中点， （ ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．已知 是各棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点，则平面 与平面 所成的锐二面角为（ ） A．45° B．60° C．75° D．30° 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ， ， ．对于结论：① ；② ；③ 是平面 的法向量；④ EMBED Equation.DSMT4 ．其中正确的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 10．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　） A．直线BM，EN是相交直线 B．直线EN与直线AB所成角等于90° C．直线EC与直线AB所成角等于直线EC与直线AD所成角 D．直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角 11．将正方形 沿对角线 折成直二面角 ，有如下四个结论：① ；② 是等边三角形；③ 与平面 所成的角为 ；④ 与 所成的角为 .其中正确的结论有（ ） A．① B．② C．③ D．④ 12．设 是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．则 两两共面，但 不可能共面 C．对空间任一向量 ，总存在有序实数组 ，使 D．则 ， ， 一定能构成空间的一个基底 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知A(2，－5，1)，B(2，－4，2)，C(1，－4，1)，则 与 的夹角为________． 14．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝ ，DC＝SD＝2，点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°.若以DA，DC，DS，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则M的坐标为_______. 15．已知向量 =(a，b，0)， =(c，d，1)，其中a2+b2=c2+d2=1，现有以下命题： ①向量 与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c，d无关)； ② 的最大值为 ； ③ ( 的夹角)的最大值为 ； ④若定义 ，则 的最大值为 . 其中正确的命题有___________.(写出所有正确命题的序号) 16．已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则 的最大值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设 ＝ ， ＝ ， ＝ ，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用 表示以下各向量： （1） ；（2） ． 18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC（不与端点重合）上的点，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= . （1）求证：平面PBC⊥平面PQB； （2）当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°？ 19．已知三棱柱 中， ， ， ， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ，在线段 上是否存在一点 ，使二面角 的平面角的余弦值为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由． 20．在多面体 中，平面 平面 ，四边形 为直角梯形， ， ， ， ， ， 为 的中点，且点 满足 . （1）证明： 平面 . （2）当多面体 的体积最大时，求二面角 的余弦值. 21．如图，在正四棱柱 中， ， ，点 是 的中点，点