第4讲 特殊平行四边形单元复习-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第4讲 特殊平行四边形单元复习 SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2. 性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： (1) 菱形的四条边都相等； (2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 注意：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分； (2) 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心； (3) 菱形的面积有两种计算方法： 一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)． 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半． 3. 判定： 菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【知识拓展1】菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【详解】解：A、菱形的两组对边分别平行，平行四边形的两组对边也分别平行，故此选项不符合题意； B、菱形的两组对角分别相等，平行四边形的两组对角也分别相等，故此选项不符合题意； C、菱形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分，故此选项不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质，故此选项符合题意． 故选：D． 【知识拓展2】如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若 ，则菱形ABCD的周长为（ ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【详解】∵E，F分别是AD，BD的中点，∴ 为 的中位线 ∴ ，又∵ 是菱形 ∴ ，∴ 故答案选：D. 【知识拓展3】如图，在 中， ，将 沿 折叠，使点 落在边 上的点 处，并且 ，则 的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设 ，根据C′D∥BC， ∴∠C′DE=∠DEC=∠DEC′，∴EC′=DC′， ∵EC=EC′，∴C′D=EC， 可得四边形 是菱形；即 中， ， ， ； 故可得 ；解得 ．故选：A． 【知识拓展4】如图，在 中，作以 为内角，四个顶点都在 边上的菱形时，如下的作图步骤是打乱的． ①分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径在 的两侧作弧，两弧相交于点 ， ； ②作直线 分别交 ， 于点 ， ，连接 ， ； ③分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 内一点 ，连接 并延长交边 于点 ； ④以点 为圆心，小于 长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ． 则正确的作图步骤是（ ） A．②④①③ B．④③②① C．②④③① D．④③①② 【答案】D 【详解】解：正确的作图步骤是： 以点 为圆心，小于 长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ； 分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 内一点 ，连接 并延长交边 于点 ； 分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径在 的两侧作弧，两弧相交于点 ， ； 作直线 分别交 ， 于点 ， ，连接 ， 故答案为：D． 【知识拓展5】一个菱形的边长为5，两条对角线的长度之和为14，则此菱形的面积为___________． 【答案】24 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO= AC，DO=BO= BD，AC⊥BD， ∵AC+BD=14，∴OD+AO=7①，∵∠AOB=90°，∴OD2+OA2=25②， 由①②两式可得49-2OD•OA=25，解得：OD•OA=12， ∴BD•AC=2OD•2OA=4OD•OA，∴菱形面积= BD•AC=2OD•OA=24．故答案为：24． 【知识拓展6】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点F是AC上一点，连接BF、DF． （1）证明：△ABF≌△ADF； （2）若AB//CD，试证明四边形ABCD是菱形． （1）证明：在△ABC和△ADC中，∵ ，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC， 在△ABF和△ADF中，∵ ，∴△ABF≌△ADF（SAS）； （2）解：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA， ∵△ABF≌△ADF,∴∠BAF=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC， ∵AB=AD，∴AB=DC，又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形． 知识点02矩形 1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形． 注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法． 2. 性质：矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质． (1)