第3讲 正方形的性质与判定-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第3讲 正方形性质与判定 1.在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探素正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正确的结论， 2.进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力. 3.掌控正方形的判定定理,并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 正方形与矩形、菱形的关系 矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 3. 性质定理 正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质． 性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等． 性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对 角． 4. 判定定理： 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形． 【知识拓展】应用正方形的性质进行计算、求解 （2020·北京师范大学厦门海沧附属学校九年级月考）如图 ，已知点 C 为线段 AB 上一点，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN=BM 【分析】根据正方形的性质证明△ACN≌△MCB，可以得结论． 【详解】∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形， ∴AC=CM， NC =BC，∠ACN=∠BCM=90°， ∴△ACN≌△MCB（SAS）， ∴AN=BM． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质，掌握正方形的性质及全等三角形的判定定理是关键． 【即学即练】如图，在一正方形 中，E为对角线 上一点，连接 、 ． （1）求证： ． （2）延长 交 于点F，若 ．求 的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【详解】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△BEC≌△DEC（SAS）； （2）∵FD=FE， ∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x， ∵△BEC≌△DEC， ∴∠BEC=∠DEC=135°-2x， ∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°， 解得：x=30， ∴∠AFE=60°． 【知识拓展2】正方形的判定 如果要证明平行四边形 为正方形，那么我们需要在四边形 是平行四边形的基础上，进一步证明（ ） A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分 【难度】★ 【答案】B 【解析】 B答案中，AB=AD可知平行四边形 是菱形，而AC = BD可知平行四边形 是矩形，则平行四边形 为正方形． 【总结】考察正方形的判定方法的运用． 【知识拓展3】正方形折叠问题 （2021·天津九年级二模）如图，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边 恰好经过点A，过点A作 ，垂足分别为G，若 ，则 的长度为________． 【答案】 【分析】延长AG交BC于点E，根据折叠的性质得出 ，进而求出AE的长度，然后利用勾股定理求出BE的长度，进而答案可求． 【详解】延长AG交BC于点E， 则 ， ． ∵正方形ABCD边长为10， ． 在 中， ， ， 由折叠的性质得， ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，掌握折叠的性质是关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 【能力拓展1】已知：在正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N．求证：MD=MN． 【难度】★★★ 【解析】取 的中点 ，联结 ∵M为AB的中点，∴ ∵ 为 的中点，∴ ∵ ，∴ ∵BN平分∠CBE，∴ ，∴ ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ∵MN⊥MD，∴ ，又∵ ，∴ ∵ ， ， ∴ ，∴ 【总结】考察正方形的性质的综合运用，注意辅助线的添加． 【能力拓展2】已知：AE为正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O．求证： OF= CE． 【难度】★★★ 【解析】在OD上截取一点G，使得 ，联结AG、CG ∵ ， ， ∴ ，∴ ∵ ， ，∴ ∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ∵AE为正方形ABCD中∠BAC的平分线， ∴ ∵ ， ，∴ ∵ ，∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ∵ ，∴ ∵ ，∴ 【总结】本题综合性较强，主要考察正方形