1.4 （整合练）空间向量的应用-2021-2022学年高二数学考点同步解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022年高二数学考点同步解读与训练 1.4 （整合练）空间向量的应用 一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设平面的法向量为， 则有取，则. 所以．因为， 所以平面的一个单位法向量可以是. 故选：B 2．若是平面的一个法向量，且，与平面都平行，则向量等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，，解得，，所以. 故选：D 3．设直线、的方向向量分别为，，若，则实数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则，解得， 故选：B. 4．已知平面的法向量为，若直线平面，则直线l的方向向量可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线平面， 故直线l的方向向量与平面的法向量平行， 因为, 故选：B. 5．若平面的法向量分别为，并且，则的值为（ ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【解析】 平面的法向量相互垂直 故选：B 6．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ） A．2 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为ABCD为正方形，所以AD⊥DC. 由⇒∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，即∠PDC＝60°. 如图所示，过P作PH⊥DC于H. ∵,∴AD⊥面PDC.,∴AD⊥面PH. 又PH⊥DC, ,∴PH⊥面ABCD, 在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB， 所以线段PE即为所求． 以H为坐标原点建立空间直角坐标系， 则 所以,∴ 故选:D. 7．已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是（ ） A．cm B．cm C．2cm D．2cm 【答案】B 【解析】解析：如图所示， 过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA；在Rt△GBE中，EG＝BG.设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB.在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm. 8．在直角坐标系中，已知，，沿轴把直角坐标系折成平面角为的二面角，使，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过分别作轴的垂线，垂足分别为， 则，，，， ，； ， ， 即，解得： 故选：C. 二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．给定下列命题，其中正确的命题是（ ） A．若，分别是平面的法向量，则 B．若，分别是平面的法向量，则 C．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则 D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 【答案】ACD 【解析】对于A选项，若，分别是平面的法向量，则,故A选项正确B选项错误； 对于C选项，若是平面的法向量，则与平面的任意直线的方向向量均垂直，所以，故C选项正确； 对于D选项，两个平面的法向量垂直，则这两个平面一定垂直，反之亦然，故D选项正确； 故选：ACD 10．空间四点A，B，C，D每两点的连线长都等于，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与点Q的距离可能为（ ） A． B．a C．a D．a 【答案】BC 【解析】解析：如图所示，由题意知，，两两夹角均为，设，，则，所以因为，，所以，即. 故选：BC. 11．已知平面α的一个法向量＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为，则z＝(　　) A．－16 B．－4 C．4 D．16 【答案】AC 【解析】点A(－1，3，0)，P(－2，1，z)，∴＝(－1，－2，z) 又＝(－2，－2，1)，则d＝＝＝＝，解得：z＝4或－16. 故选：AC. 12．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ） A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等 【答案】BC 【解析】根据题意，假设直线D1D与直线AF垂直，又,平面AEF，所以平面AEF,所以,又,所以,与矛盾，所以直线D1D与直线AF不垂直，所以选项A错误； 因为A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故选项B正确． 平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AE