1.4 （分层练）空间向量的应用-2021-2022学年高二数学考点同步解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022年高二数学考点同步解读与训练 1.4 （分层练）空间向量的应用 题型一 空间中点、直线和平面的向量表示 1．在菱形中，若是平面的法向量，则以下结论中可能不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵是平面的法向量，∴平面，平面，平面，,, A和D显然成立， 同理， 又∵四边形为菱形，，∴平面，∴，故选项C成立，不正确的只有选项B. 故选：B. 2．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ） A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直 【答案】C 【解析】平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,， ， 平面与平面的关系是平行或重合． 故选：C． 3．四边形是直角梯形，，平面，，.在如图所示的坐标系中，分别求平面和平面的一个法向量． 【答案】答案不唯一（只要垂直于所求平面的非零向量即为该面的法向量）. 【解析】，，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 即平面的一个法向量为； 平面轴，即为平面的一个法向量. 4．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、 A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： （1）平面BDD1B1的一个法向量； （2）平面BDEF的一个法向量． 【答案】（1）；（2）. 【解析】设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则， （1）设平面BDD1B1的一个法向量为， ， 则，即，令，则， 平面BDD1B1的一个法向量为； （2）， 设平面BDEF的一个法向量为． ∴，，令，得， 平面BDEF的一个法向量为. 题型二 空间中直线、平面的平行 1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，则二面角C﹣AM﹣N的余弦值为__．若动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥平面AMN，则线段PA1的长度范围是__． 【答案】 【解析】解：延长AM至Q，使得CQ⊥AQ，连接NQ，如图， 由于ABCD﹣A1B1C1D1为正方体， 正方体中有平面，平面，所以，即， ，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以∠NQC为二面角C﹣AM﹣N的平面角， 而，故， ∴， ∴； 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设P(m，2，n)（0≤m，n≤2），A(2，0，0)，M(1，2，0），N(0，2，1），A1(2，0，2）， 则，，设平面AMN的一个法向量为，则， 故可取， 又PA1∥平面AMN， ∴， ∴点P的轨迹为经过BB1，B1C1中点的线段， 根据对称性可知，当点P在两个中点时，，当点P在两个中点连线段的中点时，， 故选段PA1的长度范围是． 故答案为：，． 2．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，平面平面 （1）求证：； （2）若M为中点，求证：平面； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1） 在直三棱柱中， 平面ABC，又 平面ABC， ∴， ∵平面平面,且平面平面， 又 平面, ∴平面， 又平面，∴ （2）直三棱柱中， ∵平面，而平面 ∴， 又， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面 的一个法向量为， 则，即， 令，则， ∵M为的中点，则，所以， 因为，所以，又 平面，∴平面. 3．在正四棱柱中，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】如图建立空间直角坐标系， ，，，，，，， ，. （1）证明：设平面的法向量， ，， 由，即， 取，得， 又， 因为，所以，且平面, 所以平面． （2）证明：由（1）可知， ，，所以， 所以平面． 4．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法证明： （1）E，F，G，H四点共面; （2）BD//平面EFGH． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】证明：（1）如图所示，连接BG， 则=+=+(+)=++=+， 由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面． （2）因为=-=-=(-)=， 且E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD． 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH． 5．如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR． 【答案】证明见解析 【解析】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示， 设，又，， ∴，，，，，， ∴，，，， 设是面的一个法向量，则，令，， 设是面的一个法向量，则，令，， ∴面、面的法向量共线，故平面平面PQR，得证. 题型三 空间中直线、平面的垂直 1．若直线的方向向