1.3 （分层练）空间向量及其运算的坐标表示-2021-2022学年高二数学考点同步解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022年高二数学考点同步解读与训练 1.3 （分层练）空间向量及其运算的坐标表示 题型一 空间向量的坐标表示 1．已知、，设点、在平面上的射影分别为、，则向量的坐标为________． 【答案】 【解析】点、在平面上的射影分别为、， ∴向量的坐标为． 故答案为：. 2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.  【答案】 【解析】因为，所以向量的坐标为. 因为， 所以向量的坐标为. 因为，所以向量的坐标为. 故答案为：；； 3．已知点，，点满足，则点的坐标是________. 【答案】 【解析】设，为坐标原点.由点满足，得，可得，则点的坐标是. 故答案为：． 4．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 【答案】＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 【解析】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示． 则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， ∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 题型二 空间向量的坐标运算 1．已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（ ） A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2) C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3) 【答案】A 【解析】解析：． 故选：A 2．已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时，点Q的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 由点在直线上，可得存在实数使得， 即，可得, 所以, 则， 根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时. 故选：C. 3．设，，为空间的三个不同向量，如果λ1+λ2+λ3＝0成立的等价条件为λ1＝λ2＝λ3＝0，则称，，线性无关，否则称它们线性相关.若＝（2，1，﹣3），＝（1，0，2），＝（1，﹣1，m）线性相关，则m＝（ ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】A 【解析】解：依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得成立； 即 由，得， 代入，得（m﹣9）z＝0； 由于x，y，z不全为0， 所以z≠0， 所以m＝9. 故选：A. 4．已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为________________. 【答案】 【解析】解：根据题意，点在直线上运动，，1，； 设，，， ，，，， ， 当时，取得最小值． 此时点的坐标是，，， 故答案为： 5．已知，，．求： （1）； （2）． 【答案】（1）9，（2） 【解析】解：（1）因为，， 所以， 因为， 所以， （2）因为，，， 所以 题型三 空间向量模长的坐标表示 1．已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【解析】解析：设向量的夹角为θ，，， 于是＝．由此可得． 所以以为邻边的平行四边形的面积为. 故选：A 2．若，,则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， ，，即的最小值为. 故选：C. 3．在空间直角坐标系中，若点，，，，2，，则_______ 【答案】 【解析】空间直角坐标系中，点，，，，2，， 则． 故答案为：． 4．设空间两个不同的单位向量，与向量的夹角都等于． （1）求和的值； （2）求的大小． 【答案】（1）；；（2）． 【解析】（1）∵，∴、，又∵与的夹角为， ∴， ∴， 另外， ∴，； （2）， 由（1）知，， ∴、是方程的解，∴或， 同理或， ∵，∴或， ∴， ∵，∴． 5．如图，在长方体中，M是AC与BD的交点．若，，，求的长． 【答案】 【解析】 以D1为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则 所以，所以 即的长为. 题型四 空间向量平行的坐标表示 1．若、、三点共线，则（ ）． A．B．C．D． 【答案】A 【解析】∵，， 由题意得，则， ∴、，∴， 故选:A． 2．若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解析：设，则=k，即，即“”可推出“”； 又若＝时，＝(0，0，0)，虽有成立，但条件显然不成立， 所以“”推不出“”，故“”是