第01讲 认识一元二次方程-【精准提分】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（人教版，广东专用）

第01讲 认识一元二次方程 知识导航 课前引入 公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯学派。公元前 4 世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。 即黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高？ 若雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系： AC：BC = BC：2，即BC2 = 2AC. 设雕像下部高xm，可得方程x2 = 2（2-x），整理得 x2 + 2x – 4 = 0. 这个方程与我们学过的一元一次方程有何不同？ 知识精讲 一、一元二次方程的概念 只含有_____个未知数，并且未知数的__________是_____的_________叫做一元二次方程。 二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：____________________，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。 其中，ax2为_________，为____________，bx为_________，为____________，为_________。 【答案】一 最高次数 2 整式方程 ax2 + bx + c = 0 （a ≠ 0） 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 思考与交流：一元二次方程的一般形式中，为什么要限制a ≠ 0？若没有这个限制，还是一元二次方程吗？对b、c有无限制？ 【答案】当时，方程才是一元二次方程；若且时，方程是一元一次方程． 对b、c没有任何限制。 及时小练 判断下列关于x的方程是否为一元二次方程： （1）x2 + x﹣2＝0 （2） （3） （4） （5）ax2 + bx + c = 0 【答案】只有（1）是 总结归纳 —— 一元二次方程的判断方法 ①整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式。 ②一元方程，即方程中只含有一个未知数。 ③二次方程，即方程中未知数的最高次数是2。 三、一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做这个一元二次方程的根 【答案】解 根 注意 题目若给出一元二次方程的根，解题时需要将根代入方程得到一个等式，然后再根据恒等变换求解。 对点训练 题型一：一元二次方程的判断 【例1】（2020·广东九年级期末）下列方程中，一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 依题意，依据一元二次方程的定义及一般形式：，即可； 【详解】 由题知：A、，对照一元二次方程一般形式，缺少的条件，故不正确； B、，对照一元二次方程的一般形式，未知数个数为2个，故不正确； C、，对照一元二次方程的一般形式，完全满足条件，故正确； D、，对照一元二次方程的一般形式，未知数位于分母上，故不正确； 故选：C； 【点睛】 本题考查一元二次方程定义及一般形式，关键在熟练一元二次方程的形式和性质； 【变1-1】（2020·广东省广州市天河区同仁学校）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A． B．+1=0 C． D．=1 【答案】B 【分析】 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义判断． 【详解】 A、不是一元二次方程； B、+1=0是一元二次方程； C、不是一元二次方程； D、=1不是一元二次方程； 故选：B． 【点睛】 此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 【变1-2】（2020·广东深圳市·蛇口育才二中九年级月考）下列是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D．(a、b、c为常数) 【答案】A 【分析】 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】 仅有一个未知数x，且x的最高次数为2，故A选项正确； ，整理得，x的最高次数为1，故B选项错误； ，为分式方程，故C选项错误； (a、b、c为常数)，a可以为0，故D选项错误； 故选A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义，要注意应仅有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式一元二次方程． 【变1-3】（2018·肇庆市高要区金利镇朝阳实验学校）下列方程：①x2=0，②﹣2=0，③2x