专题10 直线与圆的位置关系（重难点突破）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题10 直线与圆的位置关系 一、考情分析 二、经验分享 知识点一 直线与圆的位置关 (1)三种位置关系：相交、相切、相离． (2)圆的切线方程的常用结论 ①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2； ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 知识点二 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 　方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【知识必备】 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。 三、题型分析 重难点题型突破01 直线与圆的位置关系 例1．（1）（2020·大连市红旗高级中学高二期中）若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】 由直线与圆相切可构造方程求得；分别在和两种情况下，利用通过比较圆心到直线距离与圆的半径之间大小关系可得位置关系. 【详解】 由圆方程知其圆心，半径为， 直线与圆相切，，解得：， 由圆方程知其圆心，半径， 圆心到直线距离； 当时，，即， 此时圆与直线相交； 当时，，即， 此时圆与直线相交； 综上所述：圆与直线相交. 故选：A. （2）．（2021·浙江高二期末）已知直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 曲线表示一个半圆，由题意画出图形，利用数形结合法即可求解． 【详解】 解：曲线可化为，，表示以为圆心，半径为2的圆的下半圆，作出直线与该半圆的图形如下： 由图可知直线从点处与圆相切时运动到过处时，直线与圆有两个公共点， 将代入得：； 由直线与圆相切，得，解得（舍或， 所以，的范围是． 故选：D． 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键是曲线将可化为，，表示以为圆心，半径为2的圆的下半圆，然后数形结合求解. 【变式训练1-1】．（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知直线与圆：相交于，两点，且为钝角三角形，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】 可得为等腰直角三角形时，点C到直线的距离，要使为钝角三角形，需满足. 【详解】 圆：化为， 故圆心，半径为2， 当为等腰直角三角形时， 点C到直线的距离，解得， 为钝角三角形，，当时，， 则可得的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键是判断出要使为钝角三角形，需满足点C到直线的距离. 【变式训练1-2】．（2021·贵州高三一模（文））直线与圆交于两点，则最小值为______. 【答案】 【分析】 求出直线过定点，然后结合圆的性质分析出当直线与OA垂直时，弦长最短，然后结合垂径定理即可求解. 【详解】 直线过定点过，因为点在圆的内部，且，由圆中弦的性质知当直线与OM垂直时，弦长最短，此时结合垂径定理可得， 故答案为： 例2．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高二期末（文））已知直线，的方程为. （1）求证：与相交； （2）若与的交点为、两点，求的面积最大值.（为坐标原点） 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】